Что такое порядок группы
Перейти к содержимому

Что такое порядок группы

  • автор:

Порядок (теория групп) — Order (group theory)

В теории групп, разделе математики, порядок группы — это ее мощность, то есть количество элементов в ее наборе. Порядок элемента a группы, иногда также называемый длиной периода или периодом a, является наименьшим положительным целым числом m такое, что a = e, где e обозначает элемент идентичности группы, а a обозначает произведение m копий a. Если такого m не существует, говорят, что a имеет бесконечный порядок.

Порядок группы G обозначается ord (G) или | G |, а порядок элемента a обозначается ord (a) или | a |. Порядок элемента a равен порядку его циклической подгруппы ⟨a⟩ = , подгруппа , порожденная посредством a. Таким образом, | a | = | ⟨A⟩ |.

Теорема Лагранжа утверждает, что для любой подгруппы H группы G порядок подгруппы делит порядок группы: | H | является делителем числа | G |. В частности, порядок | a | любого элемента является делителем | G |.

  • 1 Пример
  • 2 Порядок и структура
  • 3 Подсчет по порядку элементов
  • 4 В отношении гомоморфизмов
  • 5 Уравнение класса
  • 6 См. Также
  • 7 Примечания
  • 8 Ссылки

Пример

Симметричная группа S3имеет следующую таблицу умножения.

e s t u v w
e e s t u v w
s s e v w t u
t t u e s w v
u u t w v e s
v v w s e u t
w w v u t s e

Эта группа состоит из шести элементов, поэтому ord (S 3) = 6. По определению порядок тождества e равен единице, поскольку e = e. Каждое из s, t и w квадратов в e, поэтому эти элементы группы имеют второй порядок: | s | = | t | = | w | = 2. Наконец, u и v имеют порядок 3, поскольку u = vu = e и v = uv = e.

Порядок и структура

Порядок группы G и порядки ее элементов дают много информации о структуре группы. Грубо говоря, чем сложнее факторизация | G |, тем сложнее структура G.

For | G | = 1, группа тривиальна. В любой группе только единичный элемент a = e имеет ord (a) = 1. Если каждый неединичный элемент в G равен своему обратному (так что a = e), то ord (a) = 2; это означает, что G является абелевским , поскольку ab = (ab) — 1 = b — 1 a — 1 = ba = b ^ a ^ = ba> . Обратное неверно; например, (аддитивная) циклическая группа Z6целых чисел по модулю 6 абелева, но число 2 имеет порядок 3:

Отношения между двумя концепциями порядка следующие: если мы напишем

ord ⁡ (a) = ord ⁡ (⟨a⟩). (a) = \ operatorname (\ langle a \ rangle).>

Для любого целого k мы имеем

a = e тогда и только тогда, когда ord (a) делит k.

В общем случае порядок любой подгруппы группы G делит порядок группы G. Точнее: если H является подгруппой группы G, то

ord (G) / ord (H) = [G : H], где [G: H] называется индексом H в G, целым числом. Это теорема Лагранжа. (Это, однако, верно только тогда, когда G имеет конечный порядок. Если ord (G) = ∞, то частное ord (G) / ord (H) не имеет смысла.)

Как непосредственное следствие вышеизложенного, мы видим, что порядок каждого элемента группы делит порядок группы. Например, в симметричной группе, показанной выше, где ord (S 3) = 6, порядок элементов равен 1, 2 или 3.

Верно следующее частичное обратное. для конечных групп : если d делит порядок группы G и d является простым числом, то в G существует элемент порядка d (иногда его называют Теорема Коши ). Заявление не выполняется для составных заказов, например четырехгруппа Клейна не имеет элемента четвертого порядка). Это можно показать с помощью индуктивного доказательства. Следствия теоремы включают: порядок группы G является степенью простого числа p тогда и только тогда, когда ord (a) является некоторой степенью p для каждого a в G.

Если a имеет бесконечный порядок, то все степени a также имеют бесконечный порядок. Если a имеет конечный порядок, у нас есть следующая формула для порядка степеней a:

ord (a) = ord (a) / gcd (ord (a), k)

для любого целого k. В частности, a и обратная ей a имеют одинаковый порядок.

есть нет общей формулы, связывающей порядок продукта ab с порядками a и b. Фактически, возможно, что и a, и b имеют конечный порядок, тогда как ab имеет бесконечный порядок, или что и a, и b имеют бесконечный порядок, в то время как ab имеет конечный порядок. Примером первого является a (x) = 2 − x, b (x) = 1 − x с ab (x) = x − 1 в группе S ym (Z) )> . Примером последнего является a (x) = x + 1, b (x) = x − 1 с ab (x) = x. Если ab = ba, мы можем по крайней мере сказать, что ord (ab) делит lcm (ord (a), ord (b)). Как следствие, можно доказать, что в конечной абелевой группе, если m обозначает максимум всех порядков элементов группы, то порядок каждого элемента делит m.

Подсчет по порядку элементов

Предположим, G — конечная группа порядка n, а d — делитель n. Число d-элементов порядка в G кратно φ (d) (возможно, ноль), где φ — это функция Эйлера, дающая количество положительных целых чисел не больше d и coprime к нему. Например, в случае S 3 φ (3) = 2, и мы имеем ровно два элемента порядка 3. Теорема не дает полезной информации об элементах порядка 2, поскольку φ (2) = 1, и имеет только ограниченную полезность для составного d, такого как d = 6, поскольку φ (6) = 2, и в S есть нулевые элементы порядка 6 3.

В отношении гомоморфизмов

Групповые гомоморфизмы стремятся уменьшить порядки элементов: если f: G → H — гомоморфизм, а a — элемент конечного порядка из G, то ord (f (a)) делит ord (a). Если f инъективен, то ord (f (a)) = ord (a). Это часто может быть использовано для доказательства отсутствия (инъективных) гомоморфизмов между двумя конкретно данными группами. (Например, не может быть нетривиального гомоморфизма h: S 3→ Z5, потому что каждое число, кроме нуля в Z5, имеет порядок 5, который не делит порядки 1, 2 и 3 элементов в S 3.) Еще одним следствием является то, что сопряженные элементы имеют одинаковый порядок.

Уравнение класса

Важным результатом для заказов является уравнение класса ; он связывает порядок конечной группы G с порядком ее центра Z (G) и размерами ее нетривиальных классов сопряженности :

где d i — размеры не- тривиальные классы сопряженности; это собственные делители | G | больше единицы, и они также равны индексам централизаторов в G представителей нетривиальных классов сопряженности. Например, центр S 3 — это просто тривиальная группа с единственным элементом e, а уравнение гласит | S 3 | = 1 + 2 + 3.

См. Также

  • Подгруппа кручения
  • Теорема Лагранжа (теория групп)

Примечания

Ссылки

  • Даммит, Дэвид; Фут, Ричард. Абстрактная алгебра, ISBN 978-0471433347 , стр. 20, 54–59, 90
  • Артин, Майкл. Алгебра, ISBN 0-13-004763-5 , стр. 46–47

Порядок группы

Для общего описания теории групп см. Группа (математика) и Теория групп.

Курсив обозначает ссылку на этот словарь.

P

p-группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе. Более подробно см. в статье конечная p-группа.

А

Абелева группа. см. коммутативная группа

Аддитивная группа кольца ― группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Антигомоморфизм групп — отображение групп f : (G,*) → (H,×) такое, что

f(a * b) = f(b) × f(a)

для произвольных a и b в G (сравните с гомоморфизмом).

Г

Главный ряд подгруппряд подгрупп, в котором Gi — максимальная нормальная в G подгруппа из Gi + 1 , для всех членов ряда.

f : (G,*) \to (H,\times)

Гомоморфизм групп — отображение групп такое, что

f(a * b) = f(a) \times f(b)

для произвольных a и b в G.

Группа Шмидта — это ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера — Морено — это неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Групповая алгебра группы G над полем K — это векторное пространство над K, образующими которого являются элементы G, а умножение образующих соответсвует умножению элементов G.

Д

Длина ряда подгрупп — число n в определении ряда подгрупп.

Е

Естественный гомоморфизм на факторгруппу по нормальной подгруппе H — это гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому элементу a группы смежный класс aH . Ядром этого гомоморфизма является подгруппа H .

И

Изоморфизм групп — биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы — группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Индекс подгруппы H в группе G — число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы G по этой подгруппе H.

Индексы ряда подгрупп — индексы | Gi + 1:Gi | в определении субнормального ряда подгрупп.

К

g \in G

Класс смежности/смежный класс (левый или правый) подгруппы H в G. Левый класс смежности элемента по подгруппе H в G есть множество

gH= \<gh|h\in H\></p>
<p>.» width=»» height=»» /></p>
<p>Аналогично определяется правый класс смежности:</p>
<p><img decoding=

Класс сопряжённости элемента есть множество

\<hgh^<-1></p><div class='code-block code-block-7' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 7naukograd -->
<script src=

|h\in G\>.» width=»» height=»» />

G\;

Коммутант группы есть подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается [G,G] или .

\forall g, h \in G

Коммутативная группа. Группа G является коммутативной, или абелевой, если её операция * коммутативна, то есть g*h=h*g .

Коммутатор элементов g и h есть элемент [g,h] = ghg − 1 h − 1 .

\left\lbrace[g, h]| g\in G, h\in H \right\rbrace

Коммутатор подгрупп — множество всевозможных произведений .

Композиционный ряд группы Gряд подгрупп, в котором все факторы Gi + 1 / Giпростые группы.

Конечная группа — группа с конечным числом элементов.

Конечная p-группаp-группа конечного порядка p n .

Конечно определённая группа — группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений.

Конечнопорождённая группа — группа, обладающая конечной системой образующих.

Кручение, TorG, коммутативной или нильпотентной группы G есть подгруппа всех элементов конечного порядка.

Л

Локальное свойство группы G . Говорят, что группа G обладает локальным свойством P , если любая конечно порождённая подгруппа из G обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема. Говорят, что для некоторого свойства P групп справедлива локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им.

Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

М

Метабелева группа ― группа, второй коммутант которой тривиален (разрешимая ступени 2).

Метациклическая группа ― группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Мультипликативная группа тела ― группа, элементами которой являются все ненулевые элементы данного тела, а операция совпадает с операцией умножения в теле.

Н

Нильпотентная группа — группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы — совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор подгруппы H в G — это максимальная подгруппа G, в которой H нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор H при действии G на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть

N(H)=\<g\in G|gHg^<-1></p>
<p>=H\>.» width=»» height=»» /></p>
<p><img decoding=

Перестановочные элементы — пара элементов такие что ab = ba .

Период группы ― наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа ― группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа — подмножество H группы G, которое является группой относительно операции, определённой в G.

Подгруппа кручения см. кручение.

Для произвольного подмножества S в G, S> обозначает наименьшую подгруппу G, содержащую S.

Подгруппа Томпсона J(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами максимального порядка из G .

Подгруппа Фиттинга F(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами из G .

Подгруппа Фраттини Φ(G) группы G — есть пересечение всех максимальных подгрупп группы G , если таковые существуют, и сама группа G в противном случае.

Полупрямое произведение групп G и H над гомоморфизмом \phi: G \rightarrow \mbox<Aut>(H)» width=»» height=»» /> (обозначается по разному, в том числе <i>G</i> ⋊<sub>φ</sub> <i>H</i>) — множество <i>G</i> × <i>H</i>, наделенное операцией *, для которой (<i>g</i><sub>1</sub>,<i>h</i><sub>1</sub>) * (<i>g</i><sub>2</sub>,<i>h</i><sub>2</sub>) = (<i>g</i><sub>1</sub>φ(<i>h</i><sub>1</sub>)(<i>g</i><sub>2</sub>),<i>h</i><sub>1</sub><i>h</i><sub>2</sub>) для любых <img decoding=, h_1,h_2 \in H.

Порядок группы (G,*) — мощность G (то есть число её элементов).

Порядок элемента g группы G — минимальное натуральное число m такое, что g m = e. В случае, если такого m не существует, считается, что g имеет бесконечный порядок.

Простая группа — группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной e> и всей группы.

Примарная группа — группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа p (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о p-группе.

Прямое произведение двух групп (G,·) и (H,•) есть множество G×H пар, наделённое операцией покомпонентного умножения: (g1,h1)(g2,h2) = (g1 · g2,h1h2).

Р

Расширение группы — группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.

Разрешимая группа — группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал S(G) группы G — подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами из G .

Ряд подгрупп — конечная последовательность подгрупп G0,G1. Gn называется рядом подгрупп, если G_i \leq G_<i+1>» width=»» height=»» />, для всех <img decoding=

G=G_n\geq G_<n-1></p>
<p>\geq \dots \geq G_0=1″ width=»» height=»» /></p>
<h3>С</h3>
<p><b>Сверхразрешимая группа</b> — группа, обладающая <i>нормальным рядом подгрупп</i> с <i>циклическими</i> <i>факторами</i>.</p>
<p><b>Свободная группа</b>, порождённая множеством <i>A</i> — это группа, порождённая элементами этого множества и не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.</p>
<p><b>Силовская подгруппа</b> — <i>p</i> -подгруппа в <i>G</i> , имеющая порядок <i>p</i> <i>n</i> , где | <i>G</i> | = <i>p</i> <i>n</i> <i>s</i> , НОД (<i>p</i>,<i>s</i>) = 1 .</p><div class='code-block code-block-14' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 14naukograd -->
<script src=

Соотношение — тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).

Стабилизатор элемента p множества M , на котором действует группа G — подгруппа St_G(p) \subset G, все элементы которой оставляют p на месте: g\cdot p = p.

Субнормальный ряд подгруппряд подгрупп, в котором подгруппа Gi нормальна в подгруппе Gi + 1 , для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H есть множество классов смежности подгруппы H с умножением, определяемым следующим образом:

(aH) * (bH) = (ab)H.

Факторы субнормального рядафактор-группы Gi + 1 / Gi в определении субнормального ряда подгрупп.

Х

Характеристическая подгруппа — подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа — подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы G, обычно обозначается Z(G), определяется как

Z(G) = | gh = hg для любого h \in G>,

иначе говоря, это максимальная подгруппа элементов, коммутирующих с каждым элементом G.

Централизатор элемента есть максимальная подгруппа, коммутирующая с этим элементом.

G_<i+1></p>
<p><b>Центральный ряд подгрупп</b> — <i>нормальный ряд подгрупп</i>, в котором /G_<i>\subseteq Z(G/G_<i>)» width=»» height=»» />, для всех членов ряда.</p>
<p><b>Циклическая группа</b> — группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.</p><div class='code-block code-block-16' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 16naukograd -->
<script src=

Э

Экспонента exp(G) конечной группы G — числовая характеристика группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы G .

Я

Ядро гомоморфизма — прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, более того, любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Литература

Wikimedia Foundation . 2010 .

Порядок элемента группы — определение

vedro-compota's picture

Кроме порядка группы, мы будем иметь дело с понятием порядка элемента группы.

Порядок элемента $A$ группы $\mathfrak$ — это минимальное положительное число $k$, для которого справедливо равенство $A^k = J$ (где $J$ — единичный элемент группы). То есть — порядок элемента группы — это минимальная положительная степень, в которой данный элемент равен единице.

Теорема. В конечной группе каждый элемент имеет конечный порядок.
Доказательство:
Пусть в некоторой конечной группе $ \mathfrak$ есть элемент $ A \neq J$ , где $ J$ — единичный элемент группы.
Составим последовательность — каждый раз «умножая» элемент $\ A$ сам на себя:
$ A^1, A^2. A^k. $

Тогда (в силу конечности нашей группы $ \mathfrak$) для некоторых $ k$ и $ m$ окажется, что:
$ A^k = A^m$ — для определённости пусть $ k < m$, то есть $ m - k >0$

Далее, умножим равенство $A^k = A^m$ справа на элемент обратный к $ A^k$ — то есть на $ A^$:
$ A^k * A^ = A^m * A^ $
получим:
$ J = A^$

Далее, пусть $ m — k = b$
Множество таких $b \in \mathbb$, для которых $ A^b = J$ непусто:

Следовательно, существует первый (минимальный) элемент в этом множестве. Этот элемент (натуральное число) и будет порядком элемента $A$.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

Порядок (теория групп)

В теории групп , разделе математики , термин порядок используется в двух тесно связанных смыслах:

Порядок группы G отмечается ord ( G ), | G | или # G , а порядок элемента a записывается ord ( a ) или | а |,

Резюме

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *