Показать что функция удовлетворяет уравнению
Перейти к содержимому

Показать что функция удовлетворяет уравнению

  • автор:

Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

Показать, что функция удовлетворяет уравнению.

Решение от преподавателя:

Пример 2:

Показать, что функция y= e — x (2cos5x -3sin 5x) удовлетворяет уравнению y» + 2y’ + 26y = 0.

Решение от преподавателя:

Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.

Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению?

На дворе начало апреля 2015 и эти солнечные, но ещё холодные деньки навеяли ностальгические воспоминания о своих первых, во многом любительских заметках по высшей математике. Но время шло, тараканы взрослели, и мой стиль становился всё более и более академичным, а статьи – всё более объёмными и обстоятельными. Однако, не зря говорят, что всё возвращается на круги своя, и, видимо, поэтому сегодня появилось желание вернуться к той же лёгкости и непринуждённости изложения материала. По крайне мере, я попытаюсь =)

Задание, сформулированное в заголовке статьи, оказалось обойдено вниманием в теме «обычных» производных (производных функции ), и, прежде чем перейти к примерам с функциями нескольких переменных, наверстаем упущенное:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

! Примечание: в условии таких задач производную нередко обозначают через , и это не должно сбивать с толку!

Решение: поскольку в предложенное уравнение входит не только функция, но и её производная, то сначала следует найти производную:

Далее решение можно оформить двумя эквивалентными способами:

Стиль №1. Подставим и в левую часть уравнения и проведём упрощения:

– в результате получена правая часть, таким образом, данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Что это, кстати, значит? Грубо говоря, функция является корнем уравнения .

Стиль №2. Подставим и в уравнение и выполним упрощения (в данном случае только левой части):

Получено верное равенство.

Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Аналогичную проверку, разумеется, можно выполнить и для других функций. Так, например, подставим и её производную в левую часть уравнения (Стиль №1):
– получена правая часть, значит, функция тоже удовлетворяет данному уравнению.

А вот, скажем, функция «не подходит». И действительно, подставляя в уравнение (Стиль №2):

– получаем неверное равенство.

Совершенно понятно, что таких «неудовлетворительных» функций – великое множество.

Многие читатели уже давно интуитивно чувствуют нечто знакомое, и это неспроста! Всем с раннего детства знакома ситуация, когда, широко разинув рот, с интересом слушаешь взрослого, после чего там оказывается невкусная таблетка…, а то и вообще шприц в попе =) Вот и сейчас вы побывали в похожей ситуации! – неожиданно так, чтобы испугаться никто не успел, познакомил я вас с одной ужасной вещью:))

– это не что иное, как дифференциальное уравнение, а функция – одно из его решений. Дифференциальные уравнения мы научимся решать позже, а пока что проведём «артподготовку» к этой теме. Самостоятельно:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Здесь решение чуть выгоднее провести первым способом, т.е. найти производную и подставить в левую часть уравнения с дальнейшими преобразованиями.

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

В этом же задании подстановка осуществляется в обе части уравнения и по этой причине удобнее использовать 2-й способ, получив верное либо неверное равенство.

Следует отметить, что функция вовсе не обязана удовлетворять уравнению, и иногда приходится давать противоположный ответ: «данная функция НЕ удовлетворяет данному уравнению». Но такой исход всегда неприятен, поскольку начинает мерещиться, что где-то допущена ошибка, после чего следует тщательная проверка, а зачастую и параноидальная перепроверка решения.

Примерные образцы чистового оформления примеров внизу страницы.

Как я уже намекнул в самом начале, рассматриваемое задание значительно чаще формулируется для функции нескольких, а точнее – для функции двух переменных; поэтому данный урок и оказался в разделе ФНП. Предполагается, что на данный момент вы умеете находить частные производные функции двух переменных:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

И сразу обращаю внимание на запись частных производных – в подавляющем большинстве подобных примеров вы встретите именно громоздкие обозначения. В принципе, уравнение можно переписать в виде и это ни в коем случае не будет ошибкой, но я буду придерживаться традиционного стиля, с которым вы вероятнее всего столкнётесь на практике.

Решение: в предложенное уравнение входит как сама функция, так и её частные производные первого порядка, что сподвигает к естественным действиям:

Решение, напоминаю, можно оформить двумя способами, и, на мой взгляд, здесь проще подставить найденные частные производные в левую часть:

– «на выходе» получена правая часть нашего уравнения.

Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пара примеров для самостоятельного решения:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Тут сподручнее выполнить подстановку в обе части и получить верное или неверное равенство.

То же задание для функции и уравнения

А здесь удобнее упростить левую часть и выяснить, получится ли в итоге .

Предостерегаю от мысли «Да чего тут решать, и так всё понятно». Добросовестно прорешивая примеры, вы не только отрабатываете тематическую задачу, но и шлифуете свою технику нахождения частных производных. И это тем более важно, поскольку я предлагаю вам не абы какие-то задачки, а связный, методически продуманный курс статей – чтобы полученные знания и навыки остались с вами надолго. Таким образом, наш урок вовсе не закончился – он в самом разгаре!

Решения и ответы в подвале.

Помимо частных производных 1-го порядка, в уравнении могут присутствовать и частные производные более высоких порядков, как правило – второго:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Здесь вместо буквы «зет» использована буква «у», что является весьма распространённым вариантом обозначения функции.

Решение: сначала найдём частные производные 1-го порядка:

Затем входящие в уравнение частные производные 2-го порядка:

Подставим и в левую часть уравнения:
– в результате НЕ получена правая часть данного уравнения.

Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.

Так действительно бывает!

Интересное задание для самостоятельного решения:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Краткое решение и ответ в конце урока.

И заключительные примеры посвящены тому же заданию, но с функцией трёх переменных. Следует отметить, что в «реальном» практическом примере вам вряд ли напишут, скольких переменных дана функция, и этот момент всегда следует прояснять самостоятельно:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Симметрия это не только красиво – но ещё и очень удобно!

Теперь важно не перепутать квадраты производных с производными второго порядка. Подставим найденные производные в левую часть уравнения:

– получена правая часть данного уравнения.

Ответ: дфуду

Вот так и рождаются новые ругательства =)

Симметрия по вашу душу:

Проверить, удовлетворяет ли функция уравнению

Подумайте, как рациональнее оформить решение.

Дополнительные задания по теме можно найти в задачнике Рябушко (ИДЗ 10.2), ну а я в лучших традициях своего «раннего творчества» отпускаю вас пораньше =) Сейчас ещё раз перечитаю текст и постараюсь избавить его от излишней наукообразной лексики…, хотя наставление в середине статьи всё-таки оставлю, что делать – старею =)

Надеюсь, мои уроки удовлетворяют вашим ожиданиям, и после перемены я жду вас на странице Частные производные неявно заданной функции.

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: найдём производную:

Подставим и в левую часть уравнения:

– в результате получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 3: Решение: найдём производную:

Подставим и в уравнение :

Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 5: Решение: используя свойства логарифмов, преобразуем функцию:

Найдём частные производные первого порядка:

Подставим и в уравнение :

Получено неверное равенство.
Ответ: данная функция не удовлетворяет данному уравнению.

Пример 6: Решение: найдём частные производные первого порядка:

Подставим функцию и найденные производные в левую часть уравнения:

– получена правая часть данного уравнения.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 8: Решение: найдём частную производную по «икс»:
(т.к. константой считается «игрек», то производная берётся от степенной функции)
Найдём смешанную частную производную 2-го порядка:

(т.к. константой считается «икс», то производная берётся как производная от показательной функции)
Подставим и в уравнение:

Получено верное равенство.
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Пример 10: Решение: преобразуем функцию:

Найдем частные производные первого порядка:

Подставим найденные производные в уравнение :

Получено верное равенство
Ответ: данная функция удовлетворяет данному уравнению.

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Показать что функция удовлетворяет уравнению

Функция f(x) определена и удовлетворяет соотношению
(x-1)f( )-f(x)=x
при всех x1 . Найдите все такие функции.

Решение

Подставив в данном уравнении вместо x дробь , получаем:
f(x)-f( )=. (1)
Уравнение (1) вместе с данным в условии уравнением задает систему из двух уравнений с неизвестными f(x) и f( ) . Решив ее, находим, что f(x)=1+2x . Проверка показывает, что найденная функция удовлетворяет уравнению.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 1994
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
задача
Номер 94.4.11.6

Проект осуществляется при поддержке и .

Помогите! Нужно проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных указанному уравнению

Нужно проверить, удовлетворяет ли функция двух переменных z=sin(x^2+y^2) указанному дифференциальному уравнению первого порядка x*dz/dx+y*dz/dy=0 вместо d — буква как 6 наоборот.

Лучший ответ
potoro4aЗнаток (303) 7 лет назад

В чем смысл решать за человека полностью? так она просто перепишет бездумно, что вы написали и никогда не запомнит, как это делать, это какая-то медвежья услугу получается. Разве нет?

AnastasiaУченик (181) 7 лет назад
Спасибо огромное! У меня так и получилось, но я думала, что должен в итоге ноль как-то получиться..
Остальные ответы

d- это дифференциал, а dz/dx это просто производная по x, найдите производную по x и по y и подставьте их в уравнение, если будет верное равенство, то все ок, а если нет, то не удв.

AnastasiaУченик (181) 7 лет назад
Похожие вопросы
Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *