Что такое тривиальное решение
Перейти к содержимому

Что такое тривиальное решение

  • автор:

Что такое тривиальное решение

Системы линейных однородных уравнений.

Фундаментальная система решений

Система линейных уравнений называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю:

Однородная система всегда совместна, поскольку она всегда имеет тривиальное (нулевое) решение. Однако наибольший интерес представляют нетривиальные решения.

Теорема 1 . Однородная система линейных уравнений имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных: r ( A )= r n .

Справедливо следующее утверждение: линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также является ее решением.

Максимальная линейно независимая система решений называется фундаментальной системой решений однородной системы уравнений. Фундаментальная система решений содержит ( n — r ) векторов. Любое решение системы может быть представлено в виде линейной комбинации векторов фундаментальной системы решений.

Для нахождения фундаментальной системы решений нужно:

1) r базисных переменных выразить через свободные переменные;

2) выбрать линейно независимую систему ( n r ) векторов ( n — r )-мерного пространства (например, это могут быть единичные векторы);

3) поочередно заменить свободные переменные координатами векторов выбранной системы и вычислить значения базисных переменных.

Полученные решения , , …, образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение однородной системы уравнений имеет вид

где — произвольные числа.

Что такое тривиальное решение

относительна неизвестных x 1, x 2, . x n-1, x n называется однородной системой линейных алгебраических уравнений .

Числа a ij — коэффициенты системы , i = 1, 2, . m ; j = 1, 2, . n .

Совокупность значений неизвестных x 1, x 2, . x n-1, x n , удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Однородная система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = 0 .

Однородная система всегда совместна, поскольку имеет нулевое ( тривиальное ) решение x = 0 :

Если однородная система имеет неулевое решение, она называется нетривиально совместной .

Тривиальное решение

), а затем сформировать из набора решений подзадач одно итоговое решение.
не опустится до уровня тривиальной задачи, которая решается практически сразу.
, то уровнем тривиальности станет 1! =1.
Здесь даже на самом тривиальном уровне для определения только двух чисел Фибоначчи уже дважды выполнен.
решение из памяти.

Автор Алексей Олегович Денега
Источник Справочник
Категория Информатика
Статья от экспертов

Оценка области притяжения тривиального решения неавтономного уравнения с последействием

Метод test-уравнений, применяемый для исследования асимптотических свойств решений неавтономных уравнений с последействием, до сих пор использовался только при изучении классов линейных уравнений. В работе показано применение метода к исследованию устойчивости нелинейных уравнений.

Автор(ы) Чудинов Кирилл Михайлович
Источник Вестник российских университетов. Математика
Научный журнал

Алгоритм полного перебора

Решение возможно получить при помощи алгоритма полного перебора.
В этом случае подсистемы тоже возможно разделить, если они уже не имеют уровень тривиальных.
В таких системах тривиальной считается изначально сформулированная задача.
характерной чертой рекурсивного способа можно считать то, что итоговый результат базируется не только на одну тривиальную.
Как правило, решение основывается на анализе большого множества подсистем.

Автор Ирина Песцова
Источник Справочник
Категория Информатика
Статья от экспертов

ОБ ИЗМЕНЕНИИ ХАРАКТЕРА УСТОЙЧИВОСТИ ТРИВИАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПРИ ПЕРЕХОДЕ ОТ МОДЕЛИ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ К МОДЕЛИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Рассматривается вопрос об уточнении условий устойчивости тривиального стационарного решения при замене модели с сосредоточенными параметрами моделью с распределенными параметрами путем добавления слагаемых, моделирующих диффузионные процессы. В некоторых случаях тривиальное решение, неустойчивое в моделях без диффузионных членов, оказывается устойчивым в моделях с диффузионными членами.

Тривиальность (математика) — Triviality (mathematics)

В математике прилагательное тривиальное часто используется для обозначения утверждение или случай, который можно легко получить из контекста, или объект, который обладает простой структурой (например, групп, топологические пространства ). Существительное тривиальность обычно относится к простому техническому аспекту какого-либо доказательства или определения. Термин на математическом языке происходит от средневековой учебной программы trivium, которая отличается от более сложной учебной программы quadrivium. Противоположностью тривиальности является нетривиальный, который обычно используется, чтобы указать, что пример или решение непросто, или что утверждение или теорему нелегко доказать.

  • 1 Тривиальные и нетривиальные решения
  • 2 В математических рассуждениях
    • 2.1 Тривиальные доказательства

    Тривиальные и нетривиальные решения

    В математике термин «тривиальный» часто используется для обозначения объектов (например, групп, топологических пространств) с очень простой структурой. К ним, среди прочего, относятся:

    • Пустой набор : набор, не содержащий или не содержащий членов
    • Тривиальная группа : математическая группа, содержащая только элемент идентичности
    • Тривиальное кольцо : кольцо, определенное на одноэлементном наборе

    «Тривиальный», также может использоваться для описания решений уравнения которые имеют очень простую структуру, но не могут быть пропущены для полноты картины. Эти решения называются тривиальными решениями . Например, рассмотрим дифференциальное уравнение

    , где y = y (x) — это функция , производная которой равна y ‘ . Тривиальное решение:

    , а нетривиальное решение —

    Дифференциальное уравнение f ″ (x) Знак равно — λ е (Икс) с граничными условиями F (0) = F (L) = 0 важен в математике и физике, так как его можно использовать для описания частицы в блоке в квантовой механике или стоячая волна на веревке. Он всегда включает решение f (x) = 0 , которое считается очевидным и, следовательно, называется «тривиальным» решением. В некоторых случаях могут быть другие решения (синусоиды ), которые называются «нетривиальными» решениями.

    Точно так же математики часто описывают Великую теорему Ферма как утверждающую, что нетривиальных целочисленных решений уравнения an + bn = cn + b ^ = c ^ > , где n больше, чем 2. Ясно, что у уравнения есть некоторые решения. Например, a = b = c = 0 — решение для любого n, но такие решения очевидны и доступны без особых усилий, и, следовательно, «банальный».

    В математических рассуждениях

    Тривиальный может также относиться к любому простому случаю доказательства, которое для полноты нельзя игнорировать. Например, доказательства с помощью математической индукции состоят из двух частей: «базовый случай», который показывает, что теорема верна для определенного начального значения (например, n = 0 или n = 1), и шаг индукции. который показывает, что если теорема верна для определенного значения n, то она также верна для значения n + 1. Базовый случай часто тривиален и идентифицируется как таковой, хотя бывают ситуации, когда базовый случай сложен, но индуктивный шаг тривиален. Точно так же можно было бы доказать, что какое-то свойство принадлежит всем членам определенного набора. Основная часть доказательства будет рассматривать случай непустого множества и детально исследовать его члены; в случае, когда множество пусто, свойство тривиально принадлежит всем членам, поскольку их нет (подробнее см. пустая правда ).

    В математическом сообществе распространена шутка, что «тривиальность» синонимична слову «доказано», то есть любую теорему можно считать «тривиальной», если известно, что она верна.

    Другая шутка касается двух математиков, которые обсуждают теорему: первый математик говорит, что теорема «тривиальна». В ответ на просьбу другого дать объяснения он затем переходит к двадцатиминутному изложению. В конце объяснения второй математик соглашается, что теорема тривиальна. Эти анекдоты указывают на субъективность суждений о тривиальности. Шутка также применима, когда первый математик говорит, что теорема тривиальна, но не может доказать ее сам. Часто в шутку теорему называют «интуитивно очевидной». Кто-то, имеющий опыт исчисления, например, посчитал бы следующее утверждение тривиальным:

    Однако для человека, не знакомого с интегральным исчислением, это совсем не очевидно.

    Мелочь также зависит от контекста. Доказательство в функциональном анализе, вероятно, при наличии числа тривиально предполагает существование большего числа. Однако при доказательстве основных результатов о натуральных числах в элементарной теории чисел доказательство вполне может опираться на замечание о том, что у любого натурального числа есть преемник — утверждение, которое само должно быть доказано или приниматься как аксиома (подробнее см. аксиомы Пеано ).

    Тривиальные доказательства

    В некоторых текстах тривиальное доказательство относится к утверждению, включающему материальную импликацию P → Q, где консеквент, Q, всегда верно. Здесь доказательство следует непосредственно в силу определения материальной импликации, поскольку импликация истинна независимо от значения истинности антецедента P.

    Связанное понятие — пустая истина, где антецедент P в материальном импликации P → Q всегда ложен. Здесь импликация всегда истинна, независимо от истинностного значения последовательного Q — опять же в силу определения материальной импликации.

    Примеры

    • В теории чисел часто бывает важно найти множителей целого числа N. Любое число N имеет четыре очевидных множителя: ± 1 и ± N. Это так называемые «тривиальные факторы». Любой другой фактор, если он существует, будет называться «нетривиальным».
    • Однородная матрица уравнение A x = 0 = \ mathbf > , где A — фиксированная матрица, x > — неизвестный вектор, а 0 <\ displaystyle \ mathbf > — нулевой вектор, имеет очевидное решение x = 0 = \ mathbf > . Это называется «тривиальным решением». Если у него есть другие решения x ≠ 0 \ neq \ mathbf > , то они будут называться «нетривиальными»
    • In теория групп, существует очень простая группа, в которой всего один элемент; ее часто называют «тривиальной группой». Все другие более сложные группы называются «нетривиальными».
    • В теории графов тривиальный граф — это граф, который имеет только 1 вершину и не имеет ребра.
    • База данных Теория имеет концепцию под названием функциональная зависимость, записанная как X → Y . Зависимость X → Y верна, если Y является подмножеством X, поэтому этот тип зависимости называется «тривиальным». Все другие менее очевидные зависимости называются «нетривиальными».
    • Можно показать, что дзета-функция Римана имеет нули при отрицательных четных числах -2, -4. Хотя доказательство сравнительно простое, этот результат обычно нельзя назвать тривиальным; однако это так, поскольку другие его нули обычно неизвестны, имеют важные приложения и включают открытые вопросы (например, гипотеза Римана ). Соответственно, отрицательные четные числа называются тривиальными нулями функции, в то время как любые другие нули считаются нетривиальными.

    См. Также

    • Вырождение
    • Начальные и конечные объекты
    • Список математического жаргона
    • Патологический
    • Тривиализм
    • Тривиальная мера
    • Тривиальное представление
    • Тривиальная топология

    Ссылки

    Внешние ссылки

    Искать тривиально в Wiktionary, бесплатный словарь.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *