Что такое особая точка
Перейти к содержимому

Что такое особая точка

  • автор:

Особая точка дифференциального уравнения

Математика

d y d x = P ( x , y ) Q ( x , y ) , (*) \dfrac = \dfrac, \tag d x d y ​ = Q ( x , y ) P ( x , y ) ​ , ( * ) где P P P и Q Q Q – непрерывно дифференцируемые функции . Предполагая особую точку расположенной в начале координат и используя формулу Тейлора , уравнение ( ∗ ) (*) ( ∗ ) можно представить в виде

d y d x = γ x + δ y + P 1 ( x , y ) α x + β y + Q 1 ( x , y ) , \dfrac=\dfrac<\gamma x+\delta y +P_1(x,y)>, d x d y ​ = αx + β y + Q 1 ​ ( x , y ) γ x + δy + P 1 ​ ( x , y ) ​ , где P 1 ( x , y ) P_1(x,y) P 1 ​ ( x , y ) и Q 1 ( x , y ) Q_1(x,y) Q 1 ​ ( x , y ) – бесконечно малые по отношению к x 2 + y 2 \sqrt x 2 + y 2

​ . Характер поведения интегральных кривых около особой точки зависит от корней λ 1 \lambda_1 λ 1 ​ и λ 2 \lambda_2 λ 2 ​ характеристического уравнения

∣ α − λ β γ δ − λ ∣ = 0. \begin \alpha-\lambda & \beta\\ \gamma & \delta-\lambda\\ \end = 0.

​ = 0. Точнее, если λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \neq \lambda_2 λ 1 ​  = λ 2 ​ и λ 1 λ 2 > 0 \lambda_1\lambda_2 \gt 0 λ 1 ​ λ 2 ​ > 0 или λ 1 = λ 2 \lambda_1=\lambda_2 λ 1 ​ = λ 2 ​ , то особая точка есть узел; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности узла, входят в него. Если λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \neq \lambda_2 λ 1 ​  = λ 2 ​ и λ 1 λ 2 < 0 \lambda_1\lambda_2 \lt 0 λ 1 ​ λ 2 ​ < 0 , то особая точка есть седло ; в окрестности седла четыре интегральные кривые ( сепаратрисы ) входят в особую точку, а между ними располагаются интегральные кривые типа гиперболы . Если λ 1 , 2 = − a ± i b \lambda_=-a \pm ib λ 1 , 2 ​ = − a ± ib , a ≠ 0 a \neq 0 a  = 0 , b ≠ 0 b \neq 0 b  = 0 , то особая точка есть фокус; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности фокуса, представляют собой спирали с бесконечным числом витков в любой сколь угодно малой окрестности фокуса. Если, наконец, λ 1 , 2 = ± i b \lambda_=\pm ib λ 1 , 2 ​ = ± ib , b ≠ 0 b \neq 0 b  = 0 , то характер особой точки не определяется одними линейными членами в разложениях P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) и Q ( x , y ) Q(x,y) Q ( x , y ) , как это имело место во всех перечисленных случаях; здесь особая точка может быть фокусом или центром, а может иметь и более сложный характер. В окрестности центра все интегральные кривые являются замкнутыми и содержат центр внутри себя.

Рис. 1. Особая точка дифференциального уравнения

Рис. 1. Особая точка дифференциального уравнения. Рис. 1. Особая точка дифференциального уравнения.

Так, например, начало координат является узлом для уравнений y ′ = 2 y / x y’=2y/x y ′ = 2 y / x ( λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ 1 ​ = 1 , λ 2 = 2 \lambda_2=2 λ 2 ​ = 2 ; рис. 1, а) и y ′ = y / x y’=y/x y ′ = y / x ( λ 1 = λ 2 = 1 \lambda_1=\lambda_2=1 λ 1 ​ = λ 2 ​ = 1 ; рис. 1, б), седлом для уравнения y ′ = − y / x y’=-y/x y ′ = − y / x ( λ 1 = − 1 \lambda_1=-1 λ 1 ​ = − 1 , λ 2 = 1 \lambda_2=1 λ 2 ​ = 1 ; рис. 2), фокусом для уравнения y ′ = ( x + y ) / ( x − y ) y’=(x+y)/(x-y) y ′ = ( x + y ) / ( x − y ) ( λ 1 = 1 − i \lambda_1=1-i λ 1 ​ = 1 − i , λ 2 = 1 + i \lambda_2=1+i λ 2 ​ = 1 + i ; рис. 3) и центром для уравнения y ′ = − x / y y’=-x/y y ′ = − x / y ( λ 1 = − i \lambda_1=-i λ 1 ​ = − i , λ 2 = i \lambda_2=i λ 2 ​ = i ; рис. 4).

Если Δ = ∣ α β γ δ ∣ = 0 \Delta= \begin \alpha & \beta\\ \gamma & \delta\\ \end= 0 Δ =

Рис. 2, 3, 4, 5, 6. Особая точка дифференциального уравнения

​ = 0 , то особая точка называется особой точкой высшего порядка. Особые точки высшего порядка могут принадлежать к указанным типам, но могут иметь и более сложный характер. В случае когда функции P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) и Q ( x , y ) Q(x,y) Q ( x , y ) аналитические , окрестность особой точки высшего порядка может распадаться на области: D 1 D_1 D 1 ​ – заполненные интегральными кривыми, обоими концами входящими в особую точку (эллиптические области), D 2 D_2 D 2 ​ – заполненные интегральными кривыми, одним концом входящими в особую точку (параболические области), и D 3 D_3 D 3 ​ – области, ограниченные двумя интегральными кривыми, входящими в особую точку, между которыми расположены интегральные кривые типа гипербол (гиперболические области) (рис. 5). Рис. 2, 3, 4, 5, 6. Особая точка дифференциального уравнения. Рис. 2, 3, 4, 5, 6. Особая точка дифференциального уравнения. Если нет интегральных кривых, входящих в особую точку, то особая точка называется точкой устойчивого типа. Окрестность устойчивой особой точки состоит из замкнутых интегральных кривых, содержащих особую точку внутри себя, между которыми расположены спирали (рис. 6).

Изучение особых точек дифференциальных уравнений, т. е. по существу изучение поведения семейств интегральных кривых в окрестности особой точки, составляет один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений и играет важную роль в приложениях, в частности в вопросах устойчивости движения .

Редакция математических наук

Опубликовано 30 августа 2022 г. в 20:56 (GMT+3). Последнее обновление 30 августа 2022 г. в 20:56 (GMT+3). Связаться с редакцией

Особая точка (дифференциальные уравнения)

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскости

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

\dot x=Ax

,

где x=(x_1,x_2)— точка на плоскости, A— матрица 2\times 2. Очевидно, точка x=(0,0)в случае невырожденной матрицы Aявляется единственной особой точкой такого уравнения.

A

В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений Тип особой точки Тип фазовых траекторий Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые Центр окружности, эллипсы
Комплексные с отрицательной действительной частью Устойчивый фокус Логарифмические спирали
Комплексные с положительной действительной частью Неустойчивый фокус Логарифмические спирали
Действительные отрицательные Устойчивый узел параболы
Действительные положительные Неустойчивый узел параболы
Действительные разных знаков Седло гиперболы
  • Дифференциальные уравнения
  • Динамические системы

Wikimedia Foundation . 2010 .

Особая точка

Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой функция недифференцируема).

Особенности в комплексном анализе

Основная статья: Особенность (комплексный анализ)

Комплексный анализ рассматривает особенности голоморфных (более общо: аналитических) функций — точки комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. В случае точек ветвления аналитических функций функция в особой точке может быть определена и непрерывна, но не являться аналитичной.

Особенности в действительном анализе

Функция f(x) = 1 / x имеет особую точку в нуле, где она стремится к положительной бесконечности справа и к отрицательной бесконечности — слева (точка разрыва второго рода). · Функция g(x) = | x | также имеет особенность в нуле, где она недифференцируема.
График, определённый выражением y 2 = x , имеет в нуле особенность — вертикальную касательную. Кривая, заданная уравнением y 2 = x 3 + x 2 , имеет в (0,0) особенность — точку самопересечения.

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Улица Академика Павлова
  • Краматорский металлургический завод

Полезное

Смотреть что такое «Особая точка» в других словарях:

  • ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия
  • ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в которой нарушается аналитичность функции … Большой Энциклопедический словарь
  • особая точка — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN singular point … Справочник технического переводчика
  • Особая точка — в математике. 1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль: Если при этом не все вторые частные производные… … Большая советская энциклопедия
  • ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия
  • особая точка — аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции. * * * ОСОБАЯ ТОЧКА ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции … Энциклопедический словарь
  • особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point particulier, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas
  • особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point singulier, m … Fizikos terminų žodynas
  • Особая точка функции — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия
  • Особая точка дифференциального уравнения — У термина «особая точка» существуют и другие значения. В математике, особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Траектория соответствующего автономного обыкновенного дифференциального уравнения,… … Википедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • �� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Особая точка аналитической функции

Математика

Осо́бая то́чка аналити́ческой фу́нкции, препятствие для аналитического продолжения элемента аналитической функции вдоль некоторого пути. Каждая аналитическая функция f ( z ) f(z) f ( z ) комплексного переменного z z z может быть задана своим регулярным элементом, т. е. степенным рядом

Для однозначных элементарных функций характерно наличие изолированных особых точек, т. е. таких, для которых существует окрестность , свободная от других особых точек. При этом если z 0 z_0 z 0 ​ – изолированная особая точка и lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = ∞ \lim\limits_f(z)=\infty z → z 0 ​ lim ​ f ( z ) = ∞ , то z 0 z_0 z 0 ​ называется полюсом функции f ( z ) f(z) f ( z ) . Если же не существует конечного или бесконечного предела lim ⁡ z → z 0 f ( z ) \lim\limits_f(z) z → z 0 ​ lim ​ f ( z ) , то z 0 z_0 z 0 ​ называется существенно особой точкой. В случае конечного предела lim ⁡ z → z 0 f ( z ) = A \lim\limits_f(z)=A z → z 0 ​ lim ​ f ( z ) = A аналитическое продолжение в точку z 0 z_0 z 0 ​ возможно и следует положить f ( z 0 ) = A f(z_0)=A f ( z 0 ​ ) = A ; в этом случае z 0 z_0 z 0 ​ иногда называют устранимой особой точкой.

Ряд Лорана функции f ( z ) f(z) f ( z ) в окрестности изолированной особой точки z 0 z_0 z 0 ​

f ( z ) = ∑ n = 0 ∞ a n ( z − z 0 ) n + ∑ n = 1 ∞ a − n ( z − z 0 ) n \displaystyle f(z) =\sum^\infty_a_n(z-z_0)^n +\sum^\infty_\frac> f ( z ) = n = 0 ∑ ∞ ​ a n ​ ( z − z 0 ​ ) n + n = 1 ∑ ∞ ​ ( z − z 0 ​ ) n a − n ​ ​ либо содержит лишь конечное число отрицательных степеней разности z − z 0 z-z_0 z − z 0 ​ , если z 0 z_0 z 0 ​ – полюс (наивысшая степень 1 z − z 0 \frac z − z 0 ​ 1 ​ , встречающаяся в ряде Лорана, называется порядком полюса), либо содержит сколь угодно высокие степени 1 z − z 0 \frac z − z 0 ​ 1 ​ , если z 0 z_0 z 0 ​ – существенно особая точка. Например, для функции 1 / z 3 1/z^3 1/ z 3 точка z = 0 z=0 z = 0 является полюсом порядка 3, а для функции

sin ⁡ 1 z = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! z 2 n + 1 , \displaystyle\sin \frac =\sum^\infty_ \frac>, sin z 1 ​ = n = 0 ∑ ∞ ​ ( 2 n + 1 )! z 2 n + 1 ( − 1 ) n ​ ,

z 0 = 0 z_0=0 z 0 ​ = 0 – существенно особая точка.

У многозначных аналитических функций, помимо уже описанных особых точек однозначного характера для однозначных элементов этих функций, могут встретиться изолированные особые точки многозначного характера, или точки ветвления. Точки ветвления z 0 z_0 z 0 ​ характерны тем, что аналитическое продолжение функции f ( z ) f(z) f ( z ) по достаточно малым окружностям ∣ z − z 0 ∣ = r |z-z_0|=r ∣ z − z 0 ​ ∣ = r с центром в z 0 z_0 z 0 ​ приводит к новым значениям f ( z ) f(z) f ( z ) , отличным от исходного. Например, точка z 0 = 0 z_0=0 z 0 ​ = 0 является точкой ветвления для функций z \sqrt z

​ и Ln z \text z Ln z ; при однократном обходе вокруг неё функция z \sqrt z

​ меняет знак, а к значению Ln z \text z Ln z прибавляется или вычитается 2 π 2\pi 2 π (в зависимости от направления обхода). Если после некоторого минимального числа m > 1 m \gt 1 m > 1 обходов точки ветвления z 0 z_0 z 0 ​ в одном и том же направлении приходят к исходному элементу, то z 0 z_0 z 0 ​ называется точкой ветвления конечного порядка m − 1 m-1 m − 1 ( z 0 = 0 z_0=0 z 0 ​ = 0 есть точка ветвления порядка 1 для z \sqrt z

​ ). Если ни при каком числе последовательных обходов нельзя возвратиться к исходному элементу, то z 0 z_0 z 0 ​ называется логарифмической точкой ветвления или точкой ветвления бесконечного порядка (точка z 0 = 0 z_0=0 z 0 ​ = 0 для функции Ln z \text z Ln z ).

Если функция f ( z ) f(z) f ( z ) представлена степенным рядом, то на границе круга сходимости этого ряда находится по крайней мере одна особая точка функции f ( z ) f(z) f ( z ) . Может оказаться, что все граничные точки области существования однозначной аналитической функции являются для неё особыми точками. Так, например, все точки единичной окружности ∣ z ∣ = 1 |z|=1 ∣ z ∣ = 1 являются особыми для функции

f ( z ) = z + z 2 + z 4 + … = ∑ n = 0 ∞ z 2 n , \displaystyle f(z)=z+z^2+z^4+\ldots=\sum^\infty_z^, f ( z ) = z + z 2 + z 4 + … = n = 0 ∑ ∞ ​ z 2 n , а сама окружность ∣ z ∣ = 1 |z|=1 ∣ z ∣ = 1 есть естественная граница этой функции.

Для (однозначных) аналитических функций f ( z 1 , … , z n ) f(z_1,\ldots,z_n) f ( z 1 ​ , … , z n ​ ) многих комплексных переменных характерно прежде всего то, что у них не могут существовать изолированные особые точки. При n > 1 n \gt 1 n > 1 особые точки образуют некоторые непрерывные области.

Соломенцев Евгений Дмитриевич . Первая публикация: Большая российская энциклопедия. 2014.

Опубликовано 1 августа 2022 г. в 17:48 (GMT+3). Последнее обновление 1 августа 2022 г. в 17:48 (GMT+3). Связаться с редакцией

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *