Как находить площадь и периметр четырехугольника
Перейти к содержимому

Как находить площадь и периметр четырехугольника

  • автор:

Площадь четырехугольника

четырехугольник

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

S=<d_1 d_2 sin<alpha></p>
<p>>/2″ /></p>
<p>Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.</p>
<p><img decoding=

Площадь четырехугольника по сторонам

p=<(a+b+c+d)></p>
<p>Когда известны длины сторон фигуры, можно применить формулу площади четырехугольника по сторонам. Для применения этих расчетов потребуется найти полупериметр фигуры. Мы помним, что периметр – это сумма длин всех сторон. Полупериметр – это половина периметра. В нашем прямоугольнике со сторонами a, b, c, d формула полупериметра будет выглядеть так: /2″ /> <br />Зная стороны, выводим формулу. Площадь четырехугольника представляет собой корень из произведения разности полупериметра с длиной каждой стороны:</p>
<p><img decoding=

Дан квадрат ABCD , расположенный в системе координат XY . Найти площадь фигуры, если координаты вершин A (2;10); B (10;8); C (8;0); D (0;2).

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:S=a^2
Найдем одну из сторон, к примеру, AB :AB=sqrt<<(x_b-x_a)>^2+^2>» /> <br />Подставим значения в формулу:<img decoding=

S = ab

a и b – смежные стороны прямоугольника

Формула для площади прямоугольника через его диагонали и угол между ними

Площадь прямоугольника через диагонали и угол между ними

d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула для площади прямоугольника через радиус описанной окружности и угол между диагоналями прямоугольника

Площадь прямоугольника радиус описанной окружности и угол между диагоналями

S = 2R 2 sin φ

R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями прямоугольника

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Формула для площади параллелограмма через его сторону и высоту, опущенную на эту сторону

Площадь параллелограмма сторону и высоту

S = a ha

a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула для площади параллелограмма через стороны параллелограмма и угол между ними

Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними

S = absin φ

a и b – смежные стороны, φ – угол между ними

Формула для площади параллелограмма через его диагонали и угол между ними

Площадь параллелограмма диагонали и угол между ними

d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади квадрата через его сторону

Площадь квадрата через сторону

S = a 2

a – сторона квадрата

Формула для площади квадрата через радиус вписанной окружности

Площадь квадрата через радиус вписанной окружности

S = 4r 2

r – радиус вписанной окружности

Формула для площади квадрата через его диагональ

Площадь квадрата через диагональ

d – диагональ квадрата

Формула для площади квадрата через радиус описанной окружности

Площадь квадрата через радиус описанной окружности

S = 2R 2

R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Формула для площади ромба через сторону и высоту, опущенную на эту сторону

Площадь ромба через сторону и высоту

S = a ha

a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула для площади ромба через сторону и угол ромба

Площадь ромба через сторону и угол

S = a 2 sin φ

a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для площади ромба через его диагонали

Площадь ромба через диагонали

Формула для площади ромба через его сторону и радиус вписанной окружности

Площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности

S = 2ar

a – сторона, r – радиус вписанной окружности

Формула для площади ромба через радиус вписанной окружности и угол ромба

Площадь ромба через радиус вписанной окружности и угол

r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для площади трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через основания и высоту

a и b – основания, h – высота

Формула для площади трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

S = m h

m – средняя линия, h – высота

Формула для площади трапеции через ее диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади трапеции через ее стороны

Площадь трапеции через стороны

a и b – основания, c и d – боковые стороны

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и угол между ними

Формула площади дельтоида через неравные стороны и угол между ними

S = ab sin φ

a и b – неравные стороны, φ – угол между ними

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и углы между равными сторонами

Формула площади дельтоида через неравные стороны и углы между равными сторонами

a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и радиус вписанной окружности

Формула площади дельтоида через неравные стороны и радиус вписанной окружности

S = (a + b) r

a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности

Формула для площади дельтоида через его диагонали

Формула площади дельтоида через диагонали

Формула для площади выпуклого четырехугольника через его диагонали и угол между ними

Формула площади выпуклого четырехугольника через диагонали и угол между ними

d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади четырехугольника, вписанного в окружность, через его стороны и полупериметр («Формула Брахмагупты»)

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр

Вывод формул для площадей четырехугольников

УТВЕРЖДЕНИЕ 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 . Площадь параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3 . Площадь параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4 . Площадь ромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высота (рис.5).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 7 . Площадь дельтоида можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

Справочник по математике для школьников

  • Арифметика
  • Алгебра
  • Тригонометрия
  • Геометрия (планиметрия)
  • Геометрия (стереометрия)
  • Элементы математического анализа
  • Вероятность и статистика

Геометрия (планиметрия)

  • Основные фигуры планиметрии
    • Фигуры, составляющие основу планиметрии
    • Углы на плоскости
    • Теорема Фалеса
    • Углы, связанные с окружностью
    • Признаки параллельности прямых
    • Типы треугольников. Признаки равенства треугольников
    • Свойства и признаки равнобедренного треугольника
    • Свойства и признаки прямоугольного треугольника
    • Свойства сторон и углов треугольника
    • Подобие треугольников
    • Теорема Пифагора. Теорема косинусов
    • Биссектриса треугольника
    • Медиана треугольника
    • Высота треугольника. Задача Фаньяно
    • Средние линии треугольника
    • Теорема Чевы
    • Теорема Менелая
    • Описанная окружность. Теорема синусов
    • Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
    • Площадь треугольника
    • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    • Вневписанные окружности
    • Четырехугольники
    • Параллелограммы
    • Трапеции
    • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
    • Описанные четырехугольники
    • Площади четырехугольников
    • Многоугольники
    • Правильные многоугольники
    • Углы, связанные с окружностью
    • Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
    • Две окружности на плоскости. Общие касательные к двум окружностям
    • Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг
    • Окружность, описанная около треугольника. Теорема синусов
    • Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
    • Вневписанные окружности
    • Четырехугольники, вписанные в окружность. Теорема Птолемея
    • Описанные четырехугольники
    • Площади четырехугольников
    • Площадь треугольника
    • Вывод формул Герона и Брахмагупты
    • Средние линии
    • Геометрические места точек на плоскости
    • Движения плоскости. Теорема Шаля. Аффинные преобразования плоскости

    Учебные пособия для школьников

    • Задачи на проценты
    • Квадратный трехчлен
    • Метод координат на плоскости
    • Прогрессии
    • Решение алгебраических уравнений
    • Решение иррациональных неравенств
    • Решение логарифмических неравенств
    • Решение логарифмических уравнений
    • Решение показательных неравенств
    • Решение показательных уравнений
    • Решение рациональных неравенств
    • Решение тригонометрических уравнений
    • Степень с рациональным показателем
    • Системы уравнений
    • Тригонометрия в ЕГЭ по математике
    • Уравнения и неравенства с модулями
    • Фигуры на координатной плоскости, заданные неравенствами

    Демоверсии ЕГЭ

    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по китайскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ЕГЭ по химии
    • Итоговое сочинение (изложение) в 11 классе

    Демоверсии ОГЭ

    • Демонстрационные варианты ОГЭ по английскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по биологии
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по географии
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по информатике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по испанскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по истории
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по литературе
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по математике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по немецкому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по обществознанию
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по русскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по физике
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по французскому языку
    • Демонстрационные варианты ОГЭ по химии
    • Итоговое собеседование по русскому языку в 9 классе

    Как найти площадь четырехугольника

    wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 55 человек(а).

    Количество просмотров этой статьи: 465 460.

    В этой статье:

    Вам дана задача, в которой требуется найти площадь четырехугольника, а вы даже не знаете, что такое четырехугольник? Не волнуйтесь, эта статья вам поможет! Четырехугольник — это любая фигура с четырьмя сторонами. Для вычисления площади четырехугольника нужно определить тип четырехугольника, который вам дан, и воспользоваться соответствующей формулой.

    Метод 1 из 4:

    Квадрат, прямоугольник и другие параллелограммы

    Step 1 Определение параллелограмма.

    • Квадрат — это параллелограмм, у которого все стороны равны и пересекаются под прямым углом.
    • Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все стороны пересекаются под прямым углом.
    • Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

    Step 2 Площадь прямоугольника.

    • Площадь = длина х высота, или S = a х h.
    • Пример: если длина прямоугольника равна 10 см, а ширина равна 5 см, то площадь этого прямоугольника: S = 10 х 5 = 50 квадратных сантиметров.
    • Не забывайте, что площадь измеряется в квадратных единицах (квадратных метрах, квадратных сантиметрах и так далее).

    Step 3 Площадь квадрата.

    • Площадь = сторона х сторона, или S = a 2.
    • Пример: если сторона квадрата равна 4 см (a = 4), то площадь этого квадрата: S = a 2 = 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.

    Step 4 Площадь ромба равна.

    • Площадь = (диагональ1 х диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
    • Пример: если диагонали ромба равны 6 см и 8 см, то площадь этого ромба: S = (6 х 8)/2 = 24 квадратных сантиметров.

    Step 5 Площадь ромба также.

    • Пример: если длина ромба равна 10 см, а его высота равна 3 см, то площадь такого ромба равна 10 х 3 = 30 квадратных сантиметров.

    Step 6 Формулы для вычисления.

    • Площадь = сторона х высоту, или S = a × h
    • Площадь = (диагональ1 × диагональ2)/2, или S = (d1 × d2)/2
    • Пример: если сторона квадрата равна 4 см, то его площадь равна 4 х 4 = 16 квадратных сантиметров.
    • Пример: диагонали квадрата равны по 10 см. Вы можете найти площадь этого квадрата по формуле: (10 х 10)/2 = 100/2 = 50 квадратных сантиметров.

    Четырехугольник формулы

    Четырехугольник – это многоугольник, у которого четыре вершины и четыре стороны. Четырехугольниками являются ромб, прямоугольник, квадрат, параллелограмм и трапеция.

    Любой четырехугольник характеризуется сторонами и диагоналями d1 и d2 (см. рисунок). Также при решении задач может понадобиться угол α между диагоналями. Именно эти характеристики используются в формулах четырехугольника при вычислении площади и периметра.

    Формула периметра четырехугольника

    Периметр P четырехугольника можно получить, зная его стороны:

    Формулы площади четырехугольника

    Площадь четырехугольника S можно вычислить, зная его диагонали и угол α между ними:

    Поделитесь статьей с одноклассниками «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК формулы площади и периметра».

    При копировании материалов с сайта ссылка на источник обязательна. Уважайте труд людей, которые вам помогают.
    Нашли ошибку? Выделите текст и нажмите Ctrl + Enter.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *