Как проверить дифференцируемость функции на отрезке
Перейти к содержимому

Как проверить дифференцируемость функции на отрезке

  • автор:

Математический анализ Примеры

Поскольку является константой относительно , производная по равна .

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Умножим на .

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов.

Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .

Первая производная по равна .

Выясним, является ли производная непрерывной на .

Нажмите для увеличения количества этапов.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

Обозначение построения множества:

Конев В.В. Дифференцирование функций

Теорема о непрерывности дифференцируемой функции

Дифференцирование функций

Основные теоремы

Формула Тейлора

Доказательство. По определению производной

Это предельное равенство означает, что выражение под знаком предела можно представить в виде

где α(x) – бесконечно малая функция при xa. Тогда

Следовательно, при xa.

Заметим, что дифференцируемость функции в некоторой точке означает ее гладкость в окрестности этой точки, что влечет за собой непрерывность функции в рассматриваемой точке. Однако обратное утверждение несправедливо – функция, обладающая свойством непрерывности в некоторой точке, не обязательно дифференцируема в этой точке.


Рис. 8. Непрерывная в точке a функция не является дифференцируемой в этой точке.

4.02. Дифференцируемость функции в точке и на промежутке

Производная функции, согласно ее математического определения (1.5) и (1.6) – это некий предел. Но, как и всякий предел, он может оказаться:

А) конечным; б) бесконечным; в) вообще не существовать.

Если для данного X имеет место вариант (а), то есть если при заданном X производная функции Существует и конечна, то эта функция называется Дифференцируемой в точке x.

Функция, дифференцируемая в Каждой точке X некоторого промежутка оси Ох (например, интервала (A; B) или отрезка [A; B]) называется Дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее Дифференцированием (продифференцировать функцию – это значит найти ее производную).

Из геометрического смысла производной функции, определяемого равенством (1.11) и рис. 4.5, вытекают следующие два наглядные необходимые и достаточные условия дифференцируемости заданной функции в заданной точке X:

1) Существование касательной к графику функции в его точке с абсциссой X.

2) Невертикальность этой касательной (ибо не существует).

Например, функция , график которой изображен на рис. 4.7, не дифференцируема в точках X1, X2 и X3.

Действительно, точке X1 соответствует на графике функции точка M1 с вертикальной касательной. Точке X2 (точке максимума функции) соответствует остроконечная вершина M2, касательная в которой не существует. Точке X3 соответствует точка M3 – точка излома графика функции, в которой тоже касательная не существует.

Во всех же остальных точках M графика функции касательную к графику провести можно, и она невертикальна. Значит, для всех остальных X, отличных от (X1; X2; X3), существует производная функции. То есть во всех остальных точках X функция дифференцируема.

  • Главная
  • Заказать работу
  • Стоимость решения
  • Варианты оплаты
  • Ответы на вопросы (FAQ)
  • Отзывы о нас
  • Примеры решения задач
  • Методички по математике
  • Помощь по всем предметам
  • Заработок для студентов

Дифференцируемость функции в точке и на промежутке

Производная функции, согласно ее математического определения (5) и (6) – это некий предел. Но, как и всякий предел, он может оказаться:

а) конечным; б) бесконечным; в) вообще не существовать.

Если для данного x имеет место вариант (а), то есть если при заданном x производная функции существует и конечна, то эта функция называется дифференцируемой в точке x.

Функция, дифференцируемая в каждой точке x некоторого промежутка оси ох (например, интервала (a; b) или отрезка [a; b]) называется дифференцируемой на этом промежутке. Кстати, сама процедура вычисления производной функции называется ее дифференцированием (продифференцировать функцию – это значит найти ее производную).

Из геометрического смысла производной функции, определяемого равенством (11) и рис.5, вытекают следующие два наглядные необходимые и достаточные условия дифференцируемости заданной функции в заданной точке x:

  1. Существование касательной к графику функции в его точке с абсциссой x.
  2. Не вертикальность этой касательной (ибо не существует).

Например, функция , график которой изображен на рис.7, не дифференцируема в точках x1, x2 и x3. Действительно, точке x1 соответствует на графике функции точка M1 с вертикальной касательной. Точке x2 (точке максимума функции) соответствует остроконечная вершина M2, касательная в которой не существует. Точке x3 соответствует точка M3 – точка излома графика функции, в которой тоже касательная не существует. Во всех же остальных точках M графика функции касательную к графику провести можно, и она не вертикальна. Значит, для всех остальных x, отличных от (x1; x2; x3), существует производная функции. То есть во всех остальных точках x функция дифференцируема. Непрерывность функций. Определение. Функция у=f(x) называется непрерывной при значении х=х0 (или в точке х0), если она определена в некоторой окрестности точки х0 ( очевидно, и в самой точке х0) и если или, что то же самое, . Геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции у=f(x) в точках и х0 будет по абсолютной величине произвольно малой, если только будет достаточно мало. Для непрерывных функций справедливы следующие теоремы, регламентирующие операции с этими функциями: Теорема 1: Если функции и непрерывны в точке х0, то сумма также есть непрерывная функция в точке х0. Теорема 2: Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная. Теорема 3: Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассматриваемой точке не обращается в нуль. Теорема 4: Если непрерывна при и f(u) непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке х0. Еще три теоремы описывают свойства непрерывных функций: Теорема 5: Если функция y=f(x) непрерывна на некотором отрезке , то на отрезке найдется по крайней мере одна точка такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению, где х – любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х2 такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению . Значение функции будем называть наибольшим значением функции y=f(x) на отрезке , значение функции будем называть наименьшим значением функции на отрезке . (см. рис. 8) Рис. 8. Теорема 6: Пусть функция непрерывна на отрезке и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и b найдется по крайней мере одна точка х=с, в которой функция обращается в нуль: . Геометрический смысл этой теоремы в том, что график непрерывной функции , соединяющий точки и , где и ( или и ) пересекает ось ох по крайней мере в одной точке. Рис.9. Теорема 7: Пусть функция определена и непрерывна на отрезке . Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения , то каково бы ни было число , заключенное между числами А и В, найдется такая точка х=с, заключенная между а и b, что . Геометрический смысл этой теоремы родственен теореме 6. В данном случае всякая прямая пересекает график функции .

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *