Куда и почему направлен градиент потенциала
Перейти к содержимому

Куда и почему направлен градиент потенциала

  • автор:

Куда и почему направлен градиент потенциала

Для установления связи между силовой характеристикой электрического поля — напряжённостью и его энергетической характеристикой — потенциалом рассмотрим элементарную работу сил электрического поля на бесконечно малом перемещении точечного заряда q: dA = q E d l, эта же работа равна убыли потенциальной энергии заряда q: dA = dW п = — q d , где d — изменение потенциала электрического поля на длине перемещения d l. Приравнивая правые части выражений, получаем: E dl = — d или в декартовой системе координат

Ex d x + Ey d y + Ez dz = — d , (1.8)

где Ex, Ey, Ez — проекции вектора напряженности на оси системы координат. Поскольку выражение (1.8) представляет собой полный дифференциал, то для проекций вектора напряженности имеем

.

Стоящее в скобках выражение является градиентом потенциала j , т. е.

E = — grad = — Ñ .

Напряжённость в какой-либо точке электрического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком. Знак «минус» указывает, что напряженность E направлена в сторону убывания потенциала.

Рассмотрим электрическое поле, создаваемое положительным точечным зарядом q (рис. 1.6). Потенциал поля в точке М, положение которой определяется радиус-вектором r, равен = q / 4 p e 0 e r . Направление радиус-вектора r совпадает с направлением вектора напряженности E, а градиент потенциала направлен в противоположную сторону. Проекция градиента на направление радиус-вектора

.

Проекция же градиента потенциала на направление вектора t , перпендикулярного вектору r, равна

,

т. е. в этом направлении потенциал электрического поля является постоянной величиной ( = const ) .

В рассмотренном случае направление вектора r совпадает с направлением
рис. 1.6

силовых линий. Обобщая полученный результат, можно утверждать, что во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал электрического поля одинаков. Геометрическим местом точек с одинаковым потенциалом является эквипотенциальная поверхность, ортогональная к силовым линиям.

При графическом изображении электрических полей часто используют эквипотенциальные поверхности. Обычно эквипотенциали проводят таким образом, чтобы разность потенциалов между любыми двумя эквипотенциальными поверхностями была одинакова. На рис. 1.7 приведена двухмерная картина электрического поля. Силовые линии показаны сплошными линиями, эквипотенциали — штриховыми.

Подобное изображение позволяет сказать, в какую сторону направлен вектор напряжённости электрического поля; где напряжённость больше, где меньше; куда начнёт двигаться электрический заряд, помещённый в ту или иную точку поля. Так как все точки эквипотенциальной поверхности находятся при одинаковом потенциале, то перемещение заряда вдоль нее не требует работы. Это значит, что сила, действующая на заряд, все время перпендикулярна перемещению.

1) Какова связь между напряженностью и потенциалом. Выведите ее и объясните.

2) Электростатическое поле имеет вид Е = a i + b j , где a и b константы. Является ли поле однородным. Написать выражение для потенциала поля.

3) Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид = ( x 2 + y 2 + z 2 ). Что можно сказать о характере поля. Найти модуль напряженности поля в точке с координатами x , y , z

4) Чему равна работа по перемещению заряда вдоль эквипотенциальной поверхности

fizika / Напряженность как градиент потенциала

Напряженность как градиент потенциала различают две характеристики электростатического поля: силовую (напряженность) и энергетическую (потенциал).

Напряженность и потенциал — различные характеристики одной и той же точки поля; следовательно, между ними должна существовать связь.

Рассматривая две точки с координатами (x, y, z) и (x+dx, y, z), между которыми перемещается заряд, можно сделать вывод, что напряженность как градиент потенциала имеет формулу:

Величина, характеризующая быстроту изменения потенциала в направлении силовой линии, называется градиентом потенциала

Отсюда следует, что вектор напряженности Е численно равен градиенту потенциала и направлен в сторону убывания потенциала. Связь между напряженностью и потенциалом позволяет по известной напряженности поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками этого поля.

31. Градиент потенциала. Связь между потенциалом и напряженностью электростатического поля

Рассмотрим в однородном электрическом поле две точки 1 и 2 (рис.13) и предполо­жим, что заряд (+1) переходит из 1 в 2 вдоль прямолинейного отрезка Dl. Работу электрических сил DА при перемещении можно выразить, во-первых, через напряжённость поля: DА = Еl Dl.

С другой стороны — через разность потенциалов DU12.

` Е

Еl

2

D`l Рис. 13.

Введем теперь приращение потенциала при перемещении `Dl, т.е. раз­ность потенциалов DU21 точки 2 (конец пути) и точки 1 (начало пути), и будем обозначать его просто DU. ТогдаDU =DU21 = -DU12

Приравнивая оба выражения для работы, получим дня напряжённости электрического поля выражение

В общем случае неоднородного поля обе точки 1 и 2 нужно выбирать до­статочно близко друг от друга, строго говоря, бесконечно близко, чтобы можно было считать E на Dl постоянной. В пределе при Dl®0, Еl = -dU/dl. т.е.

проекция вектора напряжённости электрического поля на данное направление равна быстроте изменения потенциала в этом направлении, взятой с обратным знаком.

Или используя понятие градиента скалярной величины grad U:`= — grad U,

т.е. напряженность в какой-либо точке электростатического поля равна градиенту потенциала в этой точке, взятому с обратным знаком.

В общем случае потенциал U — функция всех трёх декартовых координат рассматриваемой точки поля, причёмgrad U = (U/X)+ (U/Y)+ (U/Z).

Поэтому проекции вектора на оси координат связаны с потенциаломполя т.o.: Ex = — U/X;EY = — U/Y;EZ = — U/Z;

Если заряд перемещается в направлении dl, перпендикулярном силовой линии, т.е. перпендикулярно `, то соs (Е,dl) = 0, Еl = 0 и dU/dl = 0 или U=const.

Следовательно, во всех точках кривой, ортогональной к силовым линиям, потенциал одинаков.

Геометрическое место точек с одинаковым потенциалом называется эквипотен­циальной поверхностью.

Т.к. потенциал постоянен лишь вдоль кривых, ортогональных к сило­вым линиям поля, то и эквипотенциальные поверхности должны быть везде ортогональны к силовым линиям. Очевидно, что работа, совершаемая при перемещении электрического заряда по одной и той же эквипотенциальной поверх­ности , равна нулю.

Электрическое поле можно изобразить графически не только при помощи силовых линий, но и при помощи эквипотенциальных поверхностей. Вокруг каж­дой системы зарядов можно провести бесконечное множество эквипотен­циальных поверхностей. Обычно их проводят т.о., чтобы разности потен­циалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхно­стями были одинаковыми.

Зная расположение силовых линий электрического поля, можно построить эквипо­тенциальные поверхности и, наоборот, по известному расположению эквипотенциальных поверхностей можно в каждой точке поля определить абсолютное значение и направление вектора напряжённости электростатического по­ли.

Густота эквипотенциальных линий пропорциональна напряжённости поля: там, где больше Е, там и эквипотенциальные линии расположены теснее друг к другу.

Электростатическое поле создано системой точечных зарядов и (см. рис.).

Градиент потенциала поля в точке А ориентирован в направлении …

Градиент потенциала в некоторой точке связан с напряженностью поля в этой точке соотношением , поэтому для нахождения в точке А необходимо найти напряженность поля в этой точке. Согласно принципу суперпозиции полей, напряженность в точке А равна: , где и – напряженности полей, создаваемых точечными зарядами и в рассматриваемой точке соответственно. Вектор ориентирован в направлении 2, вектор – в направлении 4.
Величина напряженности поля точечного заряда определяется по формуле , где электрическая постоянная, а r – расстояние от заряда до точки. Поскольку заряды одинаковы по величине и удалены от точки А на одинаковом расстоянии, то . Вектор по величине равен диагонали квадрата, построенного на векторах и как на сторонах, и ориентирован в направлении 3. Тогда вектор ориентирован в направлении 7.
ответ тест i-exam

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *