Что такое телесный угол
Перейти к содержимому

Что такое телесный угол

  • автор:

Что такое телесный угол

Вырежем на поверхности сферы единичного радиуса с центром в источнике элементарную площадку и телесный угол – (рис.2.4.1):

Рис. 2.4.1. Телесный угол в полярных координатах.

Выразим телесный угол через углы и :

Поток, проходящий через площадку :

Тогда общий поток от произвольного излучателя в произвольном телесном угле:

2.4.1. Сферический ламбертовский излучатель

Для сферического ламбертовского излучателя сила света постоянна во всех направлениях:
.

Поток в телесном угле определяется из выражения (2.4.2):

Рис.2.4.2. Телесный угол, получаемый вращением плоского угла.

Найдем телесный угол , определяемый плоским углом (рис.2.4.2):

Таким образом, телесный угол, который получается вращением плоского угла можно выразить следующим образом:

Тогда полный поток от сферического ламбертовского излучателя в телесном угле определяется выражением:

2.4.2. Плоский ламбертовский излучатель

Для плоского ламбертовского излучателя сила света не постоянна , следовательно:

Таким образом, полный поток от плоского ламбертовского излучателя в телесном угле , определяемым плоским углом , можно выразить следующим образом:

При малых углах выражения (2.4.5) и (2.4.7) для потока излучения сферического и плоского источников дают одинаковый результат.

Решение задач на определение параметров излучателей различных типов рассматривается в практическом занятии «Энергетика световых волн», пункт «1.3. Определение параметров излучателей различных типов».

Что такое телесный угол

Учение-свет, а неучёных тьма

Телесные углы

Телесный угол. Мера телесного угла.

Единица измерения телесного угла: стерадиан.

Телесный угол – это часть пространства, заключённая внутри одной полости конической поверхности c замкнутой направляющей. Телесный угол измеряется частью сферической поверхности ( ABCDEF , рис.98 ).

Мерой телесного угла является отношение площади ABCDEF к квадрату радиуса шара:

Единица измерения телесного угла – стерадиан ; это телесный угол, вырезающий на поверхности шара площадь, равную площади квадрата, сторона которого равна радиусу. Эта мера измерения телесных углов подобна радианному измерению плоских углов.

Авторские права © 2004-2024 Д-р Юрий Беренгард.
Все права защищены.

Телесный угол

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

\Omega\,=\,<S\over R^2></p>
<p>.» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-10' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 10naukograd -->
<script src=

Очевидно, телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса ~rповерхность с площадью ~r^2. Полная сфера образует телесный угол, равный ~4\piстерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

~\Omega

Обозначается телесный угол обычно буквой .

Двойственный телесный угол к данному телесному углу определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

Стерадиан Кв. градус Кв. минута Кв. секунда Полный угол
1 стерадиан = 1 (180/π)² ≈
≈ 3282,806 кв. градусов
(180×60/π)² ≈
≈ 1,1818103·10 7 кв. минут
(180×60×60/π)² ≈
≈ 4,254517·10 10 кв. секунд
1/4π ≈
≈ 0,07957747 полного угла
1 кв. градус = (π/180)² ≈
≈ 3,0461742·10 −4 стерадиан
1 60² =
= 3600 кв. минут
(60×60)² =
= 12 960 000 кв. секунд
π/(2×180)² ≈
≈ 2,424068·10 −5 полного угла
1 кв. минута = (π/(180×60))² ≈
≈ 8,461595·10 −8 стерадиан
1/60² ≈
≈ 2,7777778·10 −4 кв. градусов
1 60² =
= 3600 кв. секунд
π/(2×180×60)² ≈
≈ 6,73352335·10 −9 полного угла
1 кв. секунда = (π/(180×60×60))² ≈
≈ 2,35044305·10 −11 стерадиан
1/(60×60)² ≈
≈ 7,71604938·10 −8 кв. градусов
1/60² ≈
≈ 2,7777778·10 −4 кв. минут
1 π/(2×180×60×60)² ≈
≈ 1,87042315·10 −12 полного угла
Полный угол = 4π ≈
≈ 12,5663706 стерадиан
(2×180)²/π ≈
≈ 41252,96125 кв. градусов
(2×180×60)²/π ≈
≈ 1,48511066·10 8 кв. минут
(2×180×60×60)²/π ≈
≈ 5,34638378·10 11 кв. секунд
1

Вычисление телесных углов

Для произвольной стягивающей поверхности Sтелесный угол \Omega, под которым она видна из начала координат, равен

\Omega = \iint\limits_S d\Omega = \iint\limits_S \sin \vartheta d\varphi d\vartheta = \iint\limits_S \frac<(\mathbf<r></p>
<p>/r)\cdot \mathbfdS>,» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-14' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 14naukograd -->
<script src=

где r, \vartheta, \varphi— сферические координаты элемента поверхности dS,\mathbf<r>» width=»» height=»» /> — его радиус-вектор, <img decoding=

Свойства телесных углов

4\pi

  1. Полный телесный угол (полная сфера) равен стерадиан.
  2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

Величины некоторых телесных углов

  • Треугольник с координатами вершин \mathbf<r>_1″ width=»» height=»» />, <img decoding=

\, \frac<(\mathbf_1\mathbf_2\mathbf_3)>,» width=»» height=»» />

где (\mathbf_1\mathbf_2\mathbf_3) — смешанное произведение данных векторов, (\mathbf_i\cdot\mathbf_j) — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

\Omega = 4\,\operatorname<arctg>\sqrt < \operatorname\left( \frac\right) \operatorname \left( \frac\right) \operatorname \left( \frac\right) \operatorname \left( \frac\right)> » width=»» height=»» />, где <img decoding=телесный угол выражается, как: \Omega = \alpha + \beta + \gamma - \pi

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *