Что такое узел в окружности
Перейти к содержимому

Что такое узел в окружности

  • автор:

Узел (математика)

Узлы — предметы простые и наглядные. Вы, конечно, встречались с ними в повседневной жизни, но, может быть, не подозревали, что это ещё и математические объекты; более того, в последние 20 лет математики и физики с огромным интересом и удивительной интенсивностью стали заниматься соответствующими теориями, особенно теорией узлов. Достаточно сказать, что за это время четыре медали Филдса были получены именно за работы, связанные с этой теорией. А именно, лауреатами медали Филдса в разное время стали Владимир Дринфельд из Харькова, работающий в Чикаго, Максим Концевич из Москвы, работающий в Париже, Воган Джонс из Новой Зеландии, работающий в Калифорнии, и Эдвард Виттен, физик-теоретик, работающий в Принстоне.

Чем отличается математический узел от узлов, которые завязывают на галстуках или на шнурках ботинок? Естественно, в математике узел — это некая абстракция: рассматривается не верёвка и не шнур, а бесконечно тонкая, гибкая и растяжимая нить. Кроме того, рассматривая математический узел, нужно либо как-то зафиксировать его концы (обычно говорят, что один конец уходит в бесконечность «вверх», а другой — в бесконечность «вниз», либо просто соединить их (см. рис.). В последнем случае модель узла — замкнутая несамопересекающаяся кривая в пространстве. Будем предполагать, что эта кривая является ломаной, то есть состоит из отрезков (впрочем, на рисунках мы почти всегда будем изображать узлы в виде гладких кривых, считая отдельные звенья ломаной. Самый простой узел — тривиальный (простая окружность). Узел называется нетривиальным, если он не эквивалентен тривиальному, то есть его нельзя «пошевелить» (возможно растягивая, но не разрывая верёвку) так, чтобы он превратился в тривиальный.

Трилистник и восьмёрка

Вот несколько примеров нетривиальных узлов: узел на рис. слева называется трилистником, узел на рис. справа — восьмёркой. (Обычно узлы рассматривают с ориентацией, то есть считают, что задано направление обхода кривой, это направление изображается стрелкой.)

Группа узлов

Если считать узлы кривыми, концы которых уходят в бесконечность, то умножение узлов определяется естественным образом: произведение узлов а и b — это просто нить, на которой завязан сначала узел а, затем узел b (рис. справа). Это умножение ассоциативно: для любых узлов а, b и с верно равенство: (ab)c=a(bc). Ясно, что тривиальный узел (то есть просто вертикальная прямая) является единичным элементом. Ни один нетривиальный узел не имеет обратного. Покажем, что два узла, завязанные на одной веревке, можно переставить. Действительно, пусть на нити завязан сначала узел a, затем узел b. Сперва, не трогая узел a, «затянем» узел b в маленький узелок. Потом заключим этот узелок в маленький стеклянный шарик и будем двигать его вверх по нити. В итоге этот шарик окажется наверху, и его можно превратить опять в узел b. Таким образом, умножние узлов коммутативно: ab=ba.
Итак, верна

Теорема об узлах. Узлы образуют ассоциативную и коммутативную систему относительно умножения.

В этой системе есть единичный элемент, но нет обратных.

Компьютер развязывает узлы

Первый шаг в этой теории состоит в сведении (сложной) пространственной задачи развязывания узла к (более простой) задаче применения простых операций к кривым на плоскости. Эти операции придумал в 1920-е годы немецкий математик Рейдемейстер.
Имеет место

Лемма Рейдемейстера. Если узел можно развязать (превратить в окружность) в пространстве, то его плоскую диаграмму можно распутать на плоскости с помощью операций Рейдемейстера.

Некоторые типы узлов

  • Восьмёрка
  • Дикий узел
  • Незаузлённый узел
  • Трилистный узел
  • Узел Нейвирта
  • Торический узел (англ.)

Ссылки

  • Атья М. Геометрия и физика узлов. — М .: Мир, 1995. — 192 с.
  • Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов. — М .: Мир, 1967. — 348 с.
  • Сосинский А. Б. Узлы и косы. — М .: МЦНМО, 2001. — 24 с.
  • The Knot Atlas — вики-проект об узлах.
  • Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.

Узел Curve Circle (окружность)

Узел Circle.

Три точки окружности. Порядок точек определяет направление окружности (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Из-за конечного разрешения три точки не обязательно лежат на сгенерированной кривой.

Свойства

Mode Points :

Положение и радиус окружности определяются трёмя точками. Центр окружности также даётся как выход. Если три точки лежат на одной линии, геометрия не создаётся.

Окружность определяется радиусом.

Выходы

Полисплайн, сгенерированный из входных данных.

Центр окружности определяется тремя точками.

© Авторские права : This page is licensed under a CC-BY-SA 4.0 Int. License. Обновлено: 02/09/2024.

  • View Source
  • View Translation
  • Сообщить об ошибке на этой странице

Узел (математика)

cover image

вложение окружности в трёхмерное пространство / Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Уважаемый Wikiwand AI, давайте упростим задачу, просто ответив на эти ключевые вопросы:

Перечислите основные факты и статистические данные о Узел (математика)?

Кратко изложите эту статью для 10-летнего ребёнка

ПОКАЗАТЬ ВСЕ ВОПРОСЫ

У́зел в математике — вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Основной предмет изучения теории узлов. Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.

Trefle.jpg

Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла, то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (можно ли его развязать).

Для определения того, является ли конкретный узел тривиальным, можно использовать различные инварианты узлов, например многочлен Александера или фундаментальную группу дополнения. Обычно их можно посчитать, исходя из узловой диаграммы.

В топологии рассматриваются узлы только на замкнутых линиях, потому что не замкнутые можно развязать [1] .

Oops something went wrong:

Узел математика У этого термина существуют и другие значения см Узел значения Эта статья о понятии узел в теории узлов о

У́зел в математике — вложение окружности (одномерной сферы) в трёхмерное евклидово пространство, рассматриваемое с точностью до изотопии. Основной предмет изучения теории узлов. Два узла топологически эквивалентны, если один из них можно продеформировать в другой, причём в процессе деформации не должно возникать самопересечений.

Таблица всех простых узлов, имеющих семь или меньше пересечений (не включая зеркальные)

Частным случаем является вопрос о распознавании тривиальности того или иного узла, то есть о том, является ли заданный узел изотопным тривиальному узлу (можно ли его развязать).

Для определения того, является ли конкретный узел тривиальным, можно использовать различные инварианты узлов, например многочлен Александера или фундаментальную группу дополнения. Обычно их можно посчитать, исходя из узловой диаграммы.

В топологии рассматриваются узлы только на замкнутых линиях, потому что не замкнутые можно развязать.

Определение править

Узел — гладкое подмногообразие трехмерной сферы гомеоморфное Под понимается ориентированная трехмерная сфера, а ориентация окружности обычно несущественна.

Узел называется срезанным, если существует двухмерный диск что (см. Граница (топология) и Расслоение на окружности).

Узлы являются кобордантными, если существует гладко вложенное в кольцо, которое пересекает по ( ) (см. Семейство (математика)). Группа кобордизмов узлов — кобордантные ориентированные узлы с операцией связного суммирования. Рассмотрим сферы в сфере Если четно, то

Связка править

Понятия косы и узла обобщаются понятием связки. Связка с входами и выходами (то есть, -связка) — система непересекающихся дуг и окружностей, гладко вложенных в полосу такая, что концы дуг есть точками и окружности лежат в Эти дуги и окружности в называются компонентами связки.

Классификация править

Восьмёрка (узел Листинга)

Трилистник, узел является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 31 в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера [en] для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Восьмёрка, четырёхкратный узел или узел Листинга, узел ― один из простейших нетривиальных узлов. Восьмёрка обозначается символом . Впервые рассмотрен Листингом, учеником Гаусса, в 1847 году.

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот. (То есть, эти два трилистника не изотопны.)

Также, можно показать, что трилистник (как правый, так и левый) неизотопен восьмёрке.

Пятилистник, известный также как узел в обозначениях Александера и Бриггса, узел «Лапчатка» и печать Соломона, — это узел, для которого число пересечений (минимальное возможное число самопересечений на диаграмме — плоском рисунке — узла) равно пяти.

Для многокомпонентных узлов в верхнем индексе указывается количество компонентов: например, зацепление двух колец имеет символическую запись .

Это были примеры полиномиальных узлов. Неполиномиальным узлом является дикий узел

Ди́кий у́зел — узел в евклидовом пространстве такой, что не существует гомеоморфизма на себя, при котором переходит в замкнутую ломаную, состоящую из конечного числа отрезков.

Узлы и зацепления править

Вложение (чаще — его образ) несвязной суммы экземпляров окружности в или называется зацеплением кратности .

Зацепление кратности называется узлом.

Узлы, составляющие данное зацепление, называются его компонентами.

Инварианты узлов править

В теории узлов число пересечений узла — это наименьшее число пересечений на любой диаграмме узла. Число пересечений является инвариантом узла.

Например, тривиальный узел имеет нулевое число пересечений, число пересечений трилистника равно трём, а число пересечений восьмёрки равно четырём.

Дополнение узла править

Теорема Гордона — Люкке [en] утверждает, что дополнение узла (как топологического пространства) является «полным инвариантом» узла, в том смысле, что он отличает заданный узел от всех остальных с точностью до объемлющей изотопии и зеркального отражения. Среди инвариантов, связанных с дополнением узла, есть группа узла, которая является просто фундаментальной группой его дополнения.

Примечания править

  1. Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1983. Серия Библиотечка «Квант», выпуск 21. — С.87
  2. Кассел К., Россо М., Тураев В. — Квантовые группы и инварианты узлов. — Москва: Институт компьютерных исследований, 2002, 140 стр.
  3. Armstrong (1983), p. 215.
  4. Livingstone (1996), Section 2.1 Wild Knots and Unknottings, pp. 11-14.

Литература править

  • Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — doi:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
  • P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
  • C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — ISBN 9780821836781.
  • Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец: Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ISBN 5-1148-0112-0. .
  • Мантуров В. О. Теория узлов. — М. : РХД, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3. .
  • Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М. : Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ISBN 5-8360-0287-8. .
  • Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М. : Мир, 1971. — 127 с.
  • Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
  • Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
  • Джонс, Воган Ф. Р.Теория узлов и статистическая механика // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
  • Сосинский, А. Б.Узлы и косы. — М. : МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-76-6. .
  • Статьи «Теория узлов в конце XX века» // Математическое просвещение. — № 3. — 1999.
  • Мантуров В. О.Экскурс в теорию узлов // Сетевой образовательный журнал. — 2004. — Т. 8 , № 1 . — С. 122—127 .
  • H. Gruber.Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.
  • Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13 , вып. 7 . — doi:10.1142/S0218216504003524.
  • Marc Lackenby. The crossing number of composite knots // Journal of Topology. — 2009. — Т. 2 , вып. 4 . — doi:10.1112/jtopol/jtp028.
  • Honda K.3-dimensional methods in contact geometry. (англ.)
  • Etnyre J. B.Legendrian and Transversal Knots. (англ.)
  • Birman J.S.Braids, knots and contact structures. (англ.)
  • Weisstein, Eric W.Knot Theory(англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры

Дата публикации: Октябрь 31, 2023, 22:51 pm
Самые читаемые

Аббатство Орваль

Абан (река)

Абан (Красноярский край)

Абилов, Булат Мукишевич

Абиверд

Абед Хамид Махмуд ат-Тикрити

Абд аль-Хакк II

Абдалазим Сами

Агхора

Агрий (сын Порфаона)

© Copyright 2021, Все права защищены.

U etogo termina sushestvuyut i drugie znacheniya sm Uzel znacheniya Eta statya o ponyatii uzel v teorii uzlov o prakticheskom primenenii uzla sm Uzel U zel v matematike vlozhenie okruzhnosti odnomernoj sfery v tryohmernoe evklidovo prostranstvo rassmatrivaemoe s tochnostyu do izotopii Osnovnoj predmet izucheniya teorii uzlov Dva uzla topologicheski ekvivalentny esli odin iz nih mozhno prodeformirovat v drugoj prichyom v processe deformacii ne dolzhno voznikat samoperesechenij Tablica vseh prostyh uzlov imeyushih sem ili menshe peresechenij ne vklyuchaya zerkalnye Chastnym sluchaem yavlyaetsya vopros o raspoznavanii trivialnosti togo ili inogo uzla to est o tom yavlyaetsya li zadannyj uzel izotopnym trivialnomu uzlu mozhno li ego razvyazat Dlya opredeleniya togo yavlyaetsya li konkretnyj uzel trivialnym mozhno ispolzovat razlichnye invarianty uzlov naprimer mnogochlen Aleksandera ili fundamentalnuyu gruppu dopolneniya Obychno ih mozhno poschitat ishodya iz uzlovoj diagrammy V topologii rassmatrivayutsya uzly tolko na zamknutyh liniyah potomu chto ne zamknutye mozhno razvyazat 1 Soderzhanie 1 Opredelenie 1 1 Svyazka 2 Klassifikaciya 3 Uzly i zacepleniya 4 Invarianty uzlov 5 Dopolnenie uzla 6 Primechaniya 7 LiteraturaOpredelenie pravitUzel gladkoe podmnogoobrazie trehmernoj sfery S 3 displaystyle S 3 nbsp gomeomorfnoe S 1 displaystyle S 1 nbsp Pod S 3 displaystyle S 3 nbsp ponimaetsya orientirovannaya trehmernaya sfera a orientaciya okruzhnosti S 1 displaystyle S 1 nbsp obychno nesushestvenna Uzel Y displaystyle Y nbsp nazyvaetsya srezannym esli sushestvuet dvuhmernyj disk D B 4 displaystyle D subset B 4 nbsp chto Y D displaystyle Y partial D nbsp sm Granica topologiya i Rassloenie na okruzhnosti Uzly Y 1 Y 2 displaystyle Y 1 Y 2 nbsp yavlyayutsya kobordantnymi esli sushestvuet gladko vlozhennoe v S 3 I displaystyle S 3 times I nbsp kolco kotoroe peresekaet S t displaystyle S times t nbsp po Y t displaystyle Y t nbsp t 0 1 displaystyle t 0 1 nbsp sm Semejstvo matematika Gruppa kobordizmov uzlov K 1 3 displaystyle K 1 3 nbsp kobordantnye orientirovannye uzly s operaciej svyaznogo summirovaniya Rassmotrim K n n 2 displaystyle K n n 2 nbsp sfery v sfere S n 2 displaystyle S n 2 nbsp Esli n displaystyle n nbsp chetno to K n n 2 0 displaystyle K n n 2 0 nbsp Svyazka pravit Ponyatiya kosy i uzla obobshayutsya ponyatiem svyazki Svyazka s k displaystyle k nbsp vhodami i l displaystyle l nbsp vyhodami to est k l displaystyle k l nbsp svyazka sistema neperesekayushihsya dug i okruzhnostej gladko vlozhennyh v polosu R 2 0 1 displaystyle mathbb R 2 times 0 1 nbsp takaya chto koncy dug est tochkami 1 0 0 2 0 0 k 0 0 displaystyle 1 0 0 2 0 0 k 0 0 nbsp i 1 0 1 2 0 1 l 0 1 displaystyle 1 0 1 2 0 1 l 0 1 nbsp okruzhnosti lezhat v R 2 0 1 displaystyle mathbb R 2 times 0 1 nbsp Eti dugi i okruzhnosti v R 2 0 1 displaystyle mathbb R 2 times 0 1 nbsp nazyvayutsya komponentami svyazki 2 Klassifikaciya pravit nbsp Vosmyorka uzel Listinga Trilistnik uzel 3 1 displaystyle 3 1 nbsp yavlyaetsya pervym netrivialnym uzlom i edinstvennym uzlom s chislom peresechenij tri On yavlyaetsya prostym i perechislen s pod nomerom 31 v notacii Aleksandera Briggsa Notaciya Daukera en dlya trilistnika 4 6 2 a notaciya Konveya trilistnika 3 Trilistnik netrivialen chto oznachaet chto nevozmozhno razvyazat trilistnik v tryohmernom prostranstve bez razrezaniya S matematicheskoj tochki zreniya eto oznachaet chto trilistnik ne izotopen trivialnomu uzlu V chastnosti ne sushestvuet posledovatelnosti dvizhenij Rejdemejstera s pomoshyu kotoryh uzel razvyazyvaetsya Vosmyorka chetyryohkratnyj uzel ili uzel Listinga uzel 4 1 displaystyle 4 1 nbsp odin iz prostejshih netrivialnyh uzlov Vosmyorka oboznachaetsya simvolom 4 1 displaystyle 4 1 nbsp Vpervye rassmotren Listingom uchenikom Gaussa v 1847 godu Trilistnik hiralen v tom smysle chto trilistnik otlichaetsya ot svoego sobstvennogo zerkalnogo otrazheniya Dva varianta trilistnika izvestny kak levostoronnij i pravostoronnij Nevozmozhno putyom deformacii levostoronnij variant nepreryvnym obrazom perevesti v pravostoronnij ili naoborot To est eti dva trilistnika ne izotopny Takzhe mozhno pokazat chto trilistnik kak pravyj tak i levyj neizotopen vosmyorke Pyatilistnik izvestnyj takzhe kak uzel 5 1 displaystyle 5 1 nbsp v oboznacheniyah Aleksandera i Briggsa uzel Lapchatka i pechat Solomona eto uzel dlya kotorogo chislo peresechenij minimalnoe vozmozhnoe chislo samoperesechenij na diagramme ploskom risunke uzla ravno pyati Dlya mnogokomponentnyh uzlov v verhnem indekse ukazyvaetsya kolichestvo komponentov naprimer zaceplenie dvuh kolec imeet simvolicheskuyu zapis 2 1 2 displaystyle 2 1 2 nbsp Eto byli primery polinomialnyh 3 uzlov Nepolinomialnym uzlom yavlyaetsya dikij uzel 4 nbsp Primer dikogo uzla Di kij u zel uzel L displaystyle L nbsp v evklidovom prostranstve E 3 displaystyle E 3 nbsp takoj chto ne sushestvuet gomeomorfizma E 3 displaystyle E 3 nbsp na sebya pri kotorom L displaystyle L nbsp perehodit v zamknutuyu lomanuyu sostoyashuyu iz konechnogo chisla otrezkov Uzly i zacepleniya pravitVlozhenie chashe ego obraz nesvyaznoj summy m displaystyle mu nbsp ekzemplyarov okruzhnosti v R 3 displaystyle mathbb R 3 nbsp ili S 3 displaystyle S 3 nbsp nazyvaetsya zacepleniem kratnosti m displaystyle mu nbsp Zaceplenie kratnosti m 1 displaystyle mu 1 nbsp nazyvaetsya uzlom Uzly sostavlyayushie dannoe zaceplenie nazyvayutsya ego komponentami Invarianty uzlov pravitV teorii uzlov chislo peresechenij uzla eto naimenshee chislo peresechenij na lyuboj diagramme uzla Chislo peresechenij yavlyaetsya invariantom uzla Naprimer trivialnyj uzel imeet nulevoe chislo peresechenij chislo peresechenij trilistnika ravno tryom a chislo peresechenij vosmyorki ravno chetyryom Dopolnenie uzla pravit source source source source source source source source 6 UzelTeorema Gordona Lyukke en utverzhdaet chto dopolnenie uzla kak topologicheskogo prostranstva yavlyaetsya polnym invariantom uzla v tom smysle chto on otlichaet zadannyj uzel ot vseh ostalnyh s tochnostyu do obemlyushej izotopii i zerkalnogo otrazheniya Sredi invariantov svyazannyh s dopolneniem uzla est gruppa uzla kotoraya yavlyaetsya prosto fundamentalnoj gruppoj ego dopolneniya Primechaniya pravit Boltyanskij V G Efremovich V A Naglyadnaya topologiya M Nauka 1983 Seriya Bibliotechka Kvant vypusk 21 S 87 Kassel K Rosso M Turaev V Kvantovye gruppy i invarianty uzlov Moskva Institut kompyuternyh issledovanij 2002 140 str Armstrong 1983 p 215 Livingstone 1996 Section 2 1 Wild Knots and Unknottings pp 11 14 Literatura pravitSimon Jonathan Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics Jill P Mesirov Klaus Schulten De Witt Sumners 1996 T 82 The IMA Volumes in Mathematics and its Applications doi 10 1007 978 1 4612 4066 2 4 P G Tait Scientific papers Cambridge University Press 1898 T 1 C A Adams The Knot Book An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots American Mathematical Society 2004 ISBN 9780821836781 Krouell R Foks R Vvedenie v teoriyu uzlov Per s angl Cherepovec Merkurij Press 2000 348 s ISBN 5 1148 0112 0 Manturov V O Teoriya uzlov M RHD 2005 512 s ISBN 5 93972 404 3 Manturov V O Lekcii po teorii uzlov i ih invariantov M Editorial URSS 2001 204 s ISBN 5 8360 0287 8 Milnor Dzh Osobye tochki kompleksnyh giperpoverhnostej Per s angl M Mir 1971 127 s Mandelbaum R Chetyryohmernaya topologiya Per s angl M Mir 1981 286 s Hillman J A Alexander ideals of links B Hdlb N Y 1981 Dzhons Vogan F R Teoriya uzlov i statisticheskaya mehanika Scientific American izdanie na russkom yazyke 1 1991 S 44 50 Sosinskij A B Uzly i kosy M MCNMO 2001 T 10 24 s Biblioteka Matematicheskoe prosveshenie ISBN 5 900916 76 6 Stati Teoriya uzlov v konce XX veka Matematicheskoe prosveshenie 3 1999 Manturov V O Ekskurs v teoriyu uzlov Setevoj obrazovatelnyj zhurnal 2004 T 8 1 S 122 127 H Gruber Estimates for the minimal crossing number 2003 arXiv math 0303273 Yuanan Diao The additivity of crossing numbers Journal of Knot Theory and its Ramifications 2004 T 13 vyp 7 doi 10 1142 S0218216504003524 Marc Lackenby The crossing number of composite knots Journal of Topology 2009 T 2 vyp 4 doi 10 1112 jtopol jtp028 Honda K 3 dimensional methods in contact geometry angl Etnyre J B Legendrian and Transversal Knots angl Birman J S Braids knots and contact structures angl Weisstein Eric W Knot Theory angl na sajte Wolfram MathWorld Istochnik https ru wikipedia org w index php title Uzel matematika amp oldid 132668247

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *